三个二次曲面的光滑拼接及一类四次隐式代数曲面的参数化

作     者：解滨 

作者单位：吉林大学 

学位级别：硕士

导师姓名：张树功

授予年度：2004年

学科分类：07[理学] 0701[理学-数学] 070101[理学-基础数学] 

主      题：曲面拼接 直接构造 控制球 平面束 隐式代数曲面 拼接曲面 光滑拼接 

摘      要：曲面拼接问题是CAGD理论研究的一个核心内容，它为空间曲面造型技术提供了理论保证。本文研究了三个管道曲面的光滑拼接问题和一类四次隐式代数曲面的参数化。 在第二章我们研究了三个管道曲面的光滑拼接问题，分两种情况构造了三个管道曲面的GC1拼接曲面，给出了便于直接应用的拼接曲面的表达式。这两种情况为：控制曲面存在（即从GC0构造GC1拼接曲面）和直接构造GC1拼接曲面。 一方面，对于常见的六种可封闭成管道的二次曲面（圆柱面、球面、圆锥面、单叶双曲面、双叶双曲面和圆抛物面）我们给出了分别以：x，y，z坐标轴为中心轴的管道曲面的一般性描述（分为两种类型，其中圆抛物面自成一类，其他五种可表示为统一形式），针对于三个管道曲面拼接可能产生的共四种情况（三个曲面都属于类型一；两个曲面属于类型一，另一个曲面属于类型二；两个曲面属于类型二，另一个曲面属于类型一；三个曲面都属于类型二），我们借助于控制曲面S（g），计算得到了GC1拼接曲面S（f）的表达式f-ug+vh1h2h3，其中hi（i=1，2，3）为截平面，u和v分别是关于hi（i=1，2，3）的二次多项式和一次多项式。并且计算结果表明，满足上述四种情况的二次多项式u均为齐次形式。 另一方面，我们通过求解关于系数的高阶线性方程组直接构造出GC1拼接曲面S（f），并且对于控制拼接曲面S（f）的形状的自由参数进行了初步的讨论。 由于隐式代数曲面的显示问题始终是困扰人们的一个关键性难题，从而 针对具体形式的代数曲面，能给出方便有效的参数化方法无疑是有意义的. 鉴于此，本文的第三章针对一类GC‘拼接三个二次代数曲面所形成的混合代 数曲面进行了参数化研究，提出了相应的参数化方法，并给出了实现的具体算 法。 我们注意到，在以往对两管拼接曲面的参数化过程中，通过用特定平面束 去截三次混合拼接曲面可得到一条含于拼接曲面的二次曲线和一条直线，并 进而得到三次混合拼接曲面的参数化表达.将这一思想应用于三管拼接曲面 的参数化是自然的，但是由于3向管道曲面的拼接曲面是不唯一的，并且由 于参数选取不当可能出现三个管道曲面分别拼接于混合拼接曲面的不同分支 等奇异情况，从而这一思想的实现具有现实难度。 在充分研究3向管道曲面的拼接曲面的基础上，我们基于伍铁如冈给 出的引入控制球的拼接曲面表达形式、不分块直接对混合拼接曲面进行参数 化。我们直接用特定平面束去截四次混合拼接曲面，每次得到一条含于拼接曲 面的平面三次曲线和一条直线，有趣的是，基于引入控制球的拼接曲面表达形 式，我们可以直接将这条直线约去，而不必要经过坐标旋转变换来实现这一过 程（在以往两管拼接曲面的参数化实现中，这一过程都要经过坐标旋转变换 来实现）. 对于四次拼接曲面S（f），我们感兴趣的是其联结三个管道曲面s（g:）(:= 1，2，3)并且可与s（h:）(;二1，2，3)形成连通的封闭混合曲面的部分，我们称之 为拼接曲面的“有效部分.我们重点讨论拼接曲面s（j）的“有效部分的参 数化问题. 我们参数化算法的基本思想是:用过任意两平面的交线S（h，nh、）(J，k= 1，2，3;j哟的平面束去截拼接曲面S（f），不失一般性，我们取直线 S（h1n hZ），用过直线S（hl nhZ）的平面束S(h（0）)从平面S（122）“扫到平面S（hl）. 每一个这样的平面与s（f）相截，除了截出直线s（h1自hZ）外，还将截出一 条平面三次曲线（或一条平面二次曲线和一条直线）.并且，在0的变化过程 中，截线可分为封闭和不封闭两种情况: 定理1用平面s(h（的）与拼接曲面的有效部分相交，则当0〔（o，alu 田，二/2）时，平面s(h（印）与拼接曲面的有效部分相交所得截线是封闭的，当 0任（a，用时，截线是不封闭的.其中 a=afCtall d ld:一p了心+嵘一尸 d了一户2 尽=