针对Laguerre序列和Chebyshev张量积曲面高精度算法设计和误差分析

作     者：贺克山 

作者单位：国防科技大学 

学位级别：硕士

导师姓名：成礼智

授予年度：2017年

学科分类：08[工学] 081202[工学-计算机软件与理论] 0812[工学-计算机科学与技术（可授工学、理学学位）] 

主      题：截断误差 补偿算法 无误差变换 Clenshaw算法 Chebyshev张量积曲面 

摘      要：在许多大数据量、长时间数值计算中由于计算机无法通过浮点数完整的表示实数而产生截断误差导致误差不断变大,因此得到不精确的结果。本文通过使用无误差变换相关方法和理论,结合浮点计算的特点,提出了一些用于计算多项式的高精度补偿算法,本文主要的工作和创新点有以下两个方面:1.设计了用于计算Laguerre序列的高精度补偿算法（CompCS）.通过结合无误差变换方法,记录浮点计算过程中产生的误差,结合传统Clenshaw算法对计算总误差进行计算,可以使传统Clenshaw算法在处理病态问题更加稳定,从而得到精确的数值计算结果。其次,本文分析了Clenshaw算法与补偿Clenshaw算法的相对误差界,补偿算法与双倍双精度Clenshaw算法具有相同的精度。同时,与双倍双精度相比,补偿算法可以保证计算精度而且具有更高的计算效率。此外,本文分析了Clenshaw算法与补偿Clenshaw算法的的动态误差界,通过逐次对误差界的估计,可以得到比理论误差更加有效的误差估计。数值实验验证了补偿Laguerre序列算法的效率与精确性,同时也说明了动态误差估计更加接近真实误差。***张量积曲面广泛应用于图像分析与数值逼近领域。本文设计了用于计算Chebyshev张量积曲面的高精度补偿算法（CompCTP）.主要基于无误差变换理论,在嵌套格式的Clenshaw算法（CTP）中使用补偿Clenshaw算法,记录每次计算的误差,用于逼近CTP算法产生的误差。其次,本文分析了CTP算法和补偿算法的相对误差界,其中CTP误差界为u×cond（P,x,y）,CompCTP算法的为u+O（u2）×cond（P,x,y）,其中u为机器精度,cond（P,x,y）为Cheyshev张量积曲面P（x,y）的条件数。说明补偿算法的计算结果与使用双倍双精度算法计算结果精度相同。此外,本文对CTP和CompCTP的动态误差界进行了分析,并分别给出计算动态误差界的算法,得到更加接近真实误差的估计。同时,数值实验验证了理论误差与动态误差的有效性,并证明了补偿算法对比双倍双精度算法有更高的效率,又不损失精度。