边界层模型的适定性理论

作     者：林雪云 

作者单位：浙江大学 

学位级别：博士

导师姓名：张挺

授予年度：2019年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：三维Prandtl方程 轴对称 非线性消去 变量替换 几乎整体存在 MHD边界层 Littlewood-Paley理论 加权能量估计 磁微极边界层 局部适定性 实解析性 

摘      要：Prandtl系统描述了无滑动边界条件的不可压缩Navier-Stokes方程在边界附近取零粘性极限时速度场的一阶近似。这个系统是边界层理论的基础。在流体力学的数学理论中,Prandtl方程的适定性和合理性是具有挑战性的问题。解决Prandtl方程的问题主要有三个困难:由于方程没有水平方向耗散,对流项会丢失一阶x-导数;我们不能在无界物理区域使用Poincar′e不等式;分部积分时需要处理在y=0处的高阶边界值,标准的处理方法是借助算子?-?。在本文,我们主要研究了三维Prandtl方程及其相关物理模型边界层的适定性理论。首先我们主要研究三维轴对称不可压缩流体的非平稳Prandtl边界层,在Oleinik的单调性假设下,需要利用轴对称的结构u=0和新的方法得到加权Sobolev空间的局部适定性。为了得到三维轴对称Prandtl边界层在H-空间的局部适定性,我们考虑新的H-范数可以避免竖直速度引起的导数缺失。在H能量的每一阶y-导数我们添加权(1+y)解决了第二个困难。对于第三个困难我们在Sobolev空间推导出高阶边界条件的重构论据。其次,当三维Prandtl系统关于切向变量解析的初值位于稳定剪切流的ε邻域时,我们证明了三维Prandtl系统有几乎整体存在的解析解。我们利用了切向解析范数的各向异性Littlewood-Paley估计和引入了新的良定义的线性未知量,证明了三维Prandtl系统在大于exp(ε/log(ε))的生命区间里有唯一解。进一步,我们考虑电磁场对流体边界层的影响,证明了具有关于x变量解析小初值的二维磁流体动力学边界层的几乎整体存在性和唯一性。如果初值位于稳定剪切流的ε邻域,我们可以把生命区间延长至少直到T≥exp(ε/ln(ε))。不同于经典流体,微极流体除了具有流体普通的速度,由于材料元素的固有刚性旋转,还有一个微旋转速度。最后,我们考虑磁场作用下的磁微极流体运动方程的边界层问题。对于二维不可压缩磁微极边界层,当初值关于x变量解析时,利用合适的变量替换和操作关于切向变量解析的能量估计,我们得到二维磁微极边界层系统的局部适定性。