高维去圈随机游走的增长指数研究

作     者：刘宇翔 

作者单位：浙江大学 

学位级别：硕士

导师姓名：苏中根

授予年度：2021年

学科分类：02[经济学] 0202[经济学-应用经济学] 020208[经济学-统计学] 07[理学] 0714[理学-统计学（可授理学、经济学学位）] 070103[理学-概率论与数理统计] 0701[理学-数学] 

主      题：去圈随机游走 简单随机游走 增长指数 分离引理 指数尾概率界 Green函数 

摘      要：设S为d维格点上的简单随机游走,通过顺序地擦除S上的“圈,得到的随机路径称之为去圈随机游走。去圈随机游走具有简单随机游走的良好性质,又与统计物理中的其他许多模型紧密相关,因而得到了广泛的研究。例如,在Wilson算法中,利用去圈随机游走构建的随机生成树,其分布与均匀生成树一致。如果我们记τn为S首次离开半径为n的d维球的时刻,对于随机游走的轨迹S[0,τn],考虑其去圈路径LE(S[0,τn]),我们感兴趣LE(S[0,τn])的长度Mnd=len(LE(S[O,τn]))。Mnd的分布尚不为人所知,但其期望E[Mnd]已经得到了一定的研究:若(?)则称相应维数的去圈随机游走的增长指数为αd。Lawler的经典结果表明,d ≥ 4维的去圈随机游走的增长指数为2;Masson将平面去圈随机游走上的点在Z2上的分布同简单随机游走与去圈随机游走的不交概率联系到了一起,通过给出平面简单随机游走与去圈随机游走的分离引理,结合简单随机游走与去圈随机游走的收敛性,证明了平面去圈随机游走的增长指数为5/4;Shiraishi利用同样的方法,结合遍历论的工具,给出了三维去圈随机游走增长指数存在性的证明。本文的第一项工作是将简单随机游走与去圈随机游走的分离引理推广到了高维情形,通过归纳法可以证明更为严格的分离引理与逆分离引理。作为分离引理的应用,我们借助Masson的方法给出了高维(d ≥ 4)去圈随机游走的增长指数为2的一个新的证明。Barlow等人在Masson工作的基础上,通过估计Mn2的k阶矩,得到了平面去圈随机游走的指数尾概率界不等式,这对于我们进一步研究Mn2的分布有着显而易见的作用;Shiraishi给出了三维去圈随机游走的类似结果。本文的第二项工作便是将这一结果推广到了高维情形,这一推广需要我们对Mnd的k阶矩进行重新估计,以及在高维情形下证明Barlow中类似的引理,证明的关键在于几何分析以及对高维Green函数估计的应用。最终我们得到了如下两个不等式:·对任意d≥4,存在常数00,P[Mnd≥κE(Mnd)]≤2exp(-cκ).·对任意d≥4与β1/2,存在0c,(C∞,使得对任意n≥1与κ≥1,P(Mnd≤E(MND)/κ)≤Cexp(-cκβ).