分数阶偏微分方程数值解法及其在磁流体力学中的应用

作     者：迟晓庆 

作者单位：山东大学 

学位级别：博士

导师姓名：蒋晓芸

授予年度：2022年

学科分类：07[理学] 080103[工学-流体力学] 08[工学] 070102[理学-计算数学] 0701[理学-数学] 0801[工学-力学（可授工学、理学学位）] 

主      题：分数阶偏微分方程 数值计算 磁流体力学 快速方法 参数估计 稳定性和收敛性 布谷鸟搜索算法 无界区域 

摘      要：分数阶微积分理论作为经典微积分理论的推广,越来越多地应用于流体力学、电磁学、系统控制、粘弹性材料、电化学和生物种群等领域.分数阶算子能够成功地描述具有记忆性、非局部性以及遗传特性的各种材料和过程,因此成为了复杂材料科学与物理过程数学建模的强有力工具.考虑到分数阶算子的非局部性与复杂性,分数阶模型的解析解往往难以显式给出,从而对分数阶模型进行数值求解就显得格外重要.参数估计是分数阶模型研究中一类重要的反问题,目前已发展了一些方法来估计分数阶模型中的未知参数,但仍相对较少,并且高效可行的参数估计方法也有待于被进一步探索.本文主要研究几类分数阶偏微分方程的数值解法和参数估计,并将分数阶微积分引入到磁流体动力学(MHD)中,研究复杂磁流体分数阶耦合模型构建及数值模拟等问题.本文首先建立了时间分数阶热传导模型来刻画煤层气吸附热传递这一过程,给出有限差分-谱配点的数值求解格式.首次将布谷鸟搜索(CS)算法应用到分数阶模型参数估计中,结合实验热流数据,解决了时间分数阶热传导模型的参数估计问题.其次,对于半无界区域上二维广义Oldroyd-B流体模型,发展了有限差分Laguerre-Legendre谱方法,并证明了数值方法的稳定性和收敛性.相比于之前增加人工边界条件的方法,本文所给出的数值格式可直接在整个区域上进行求解,避免了由于区域截断而产生的误差.第三,对于具有Hall效应的粘性不可压缩导电流体的非定常空间分数阶MHD自由对流和传热问题,建立了空间分数阶MHD流动与传热耦合模型.考虑到速度和压力之间存在不可压缩约束,提出了一种基于压力修正算法的有限差分-谱分解方法来求解该模型,成功模拟了二维封闭方腔内空间分数阶MHD流动与传热问题.最后,针对广义二阶流体在多孔介质中的非定常流动和传热问题,建立一个新的时间分数阶MHD流动与传热耦合模型,发展了有限差分-Legendre谱方法,并进行了稳定性和收敛性的证明.此外,进一步提出了节省内存和计算时间的快速算法,并对快速算法进行了收敛性分析,构建了快速算法的理论分析框架.具体来说:第一章简要介绍分数阶微积分相关研究背景,给出本文中所用到的几种分数阶算子的具体定义.其次介绍本文的主要研究内容.最后给出一些常用空间和范数的定义.第二章研究煤层气中分数阶热传导模型的参数估计问题.针对煤层气吸附热传递这一过程,结合分数阶Fourier定律,建立了时间分数阶热传导模型.在时间方向上采用标准的Grünwald-Letnikov公式来离散分数阶导数,在空间方向上采用Legendre谱配点法,给出全离散数值格式及煤基质表面的热流Q(t)的计算公式.对于模型中的未知参数:分数阶阶数α、吸附参数G及吸附速率常数v,首次采用CS算法进行参数估计,并且基于实验热流数据,成功得到三个未知参数的估计值.此外,为了进一步验证CS算法对于求解分数阶模型反问题的稳定性,讨论了 CS算法中最大迭代次数Niter、发现概率p和巢数n值的选取对参数估计结果的影响.结果显示这些参数值变化时,相应的估计结果变化非常小,这表示CS算法对于分数阶模型参数估计问题是可行有效的.最后,对于时间分数阶热传导模型进行了参数的敏感性分析,发现α,G,v对时间分数阶热传导模型有显著影响.第三章研究半无界区域上二维广义Oldroyd-B流体的数值解.对于含有多个分数阶导数的时间方向,采用二阶θ格式结合加权移位的Grünwald公式来近似.对于空间在一个方向上无界和在另一个方向上有界的情况,在整个区域上提出了复合Laguerre-Legendre谱格式,从而得到全离散格式,并严格证明了数值格式的稳定性和收敛性.最后给出了详细的数值实现过程,并通过初值为0和初值不为0的两个算例来具体说明数值方法的有效性.两个算例均表明,该方法在时间方向上达到了二阶收敛精度且不随参数θ,α,β的取值变化而变化.在空间上,无界和有界方向上的误差都呈指数衰减,收敛精度均达到了谱收敛精度.另外通过所列出的CPU时间来看,所发展的数值方法用来求解半无界区域上分数阶模型是非常快速的.本章的数值方法具有较高的精度和较少的计算时间,可推广到其他粘弹性流体模型和更多无界区域上时间分数阶偏微分方程的数值求解中.第四章对粘性不可压缩导电流体的非定常空间分数阶MHD自由对流和传热问题进行数值研究.首先,考虑Hall效应、粘性耗散和焦耳热的影响,在二维封闭方腔内建立了空间分数阶MHD流动与传热模型.该模型由不可压缩空间分数阶Navier-Stokes方程和热传导方程耦合而成.由于模型中压力和速度之间存在不可压缩约束,直接进行求解比较困难,因此采用压力修正算法对动量方程中的速度和压力解耦进行计算.然后针对含有分数阶Laplace算子的空间方向,提出谱分解方法进行离散.在时间方向上,采用二阶半隐式差分格式来近