大规模对称代数Riccati方程的加倍算法

作     者：杜丽杰 

作者单位：大连理工大学 

学位级别：硕士

导师姓名：程明松

授予年度：2023年

学科分类：07[理学] 070104[理学-应用数学] 0701[理学-数学] 

主      题：保结构加倍算法 大规模对称代数Riccati方程 QR分解 Cholesky分解 Sherman-Morrison-Woodbury公式 

摘      要：代数Riccati方程在工程中有广泛应用,例如自动化技术,环境科学,资源利用与电力工业等领域。目前保结构加倍算法是求解对称代数Riccati方程较新的方法,它的思想新颖,算法的效率高且数值稳定性好,理论优美。 在实际应用中经常遇到的是大规模对称代数Riccati方程。如果直接用对称代数Riccati方程的加倍算法解决大规模对称代数Riccati方程,矩阵阶数过大会导致超高的运算量和存储量。如果直接应用大规模非对称代数Riccati方程的加倍算法解决大规模对称代数Riccati方程,则会忽略方程及其解的对称性,浪费了一半的运算量和存储量,同时得到数值解也不是对称的,不符合实际应用的需求。考虑到大规模对称代数Riccati方程的低秩特性与解的对称性,本文提出了大规模对称代数Riccati方程的保结构加倍算法,在原有代数Riccati方程加倍算法的基础上,增加了迭代公式的降阶,拆分与压缩等过程。在降阶过程中应用Sherman-Morrison-Woodbury公式,得到了对称的低阶迭代公式。通过Cholesky分解对迭代公式进行拆分,得到半解。采用QR分解截断,对半解分解形式进行压缩,得到满秩分解,从而大大降低了运算量和存储空间。 本文算法充分运用了对称代数Riccati方程的对称性与低秩性,相比于代数Riccati方程的加倍算法可以减少很多计算量,比较适合于求解大规模对称代数Riccati方程。数值实验表明本文的算法是十分高效的。