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Kernelization for Graph Packing Problems via Rainbow Matching 34

Kernelization for Graph Packing Problems via Rainbow Matchin...

引用

34th acm-siam Annual symposium on discrete algorithms (SODA)

作者： Bessy, Stephane Bougeret, Marin thilikos, Dimitrios M. Wiederrecht, Sebastian Univ Montpellier CNRS LIRMM Montpellier France Inst for Basic Sci Korea Discrete Math Grp Daejeon South Korea

ISBN: (纸本)9781611977554

We introduce a new kernelization tool, called rainbow matching technique, that is appropriate for the design of polynomial kernels for packing problems. Our technique capitalizes on the powerful combinatorial results of [Graf, Harris, Haxell, SODA 2021]. We apply the rainbow matching technique on two (di)graph packing problems, namely the Triangle-Packing in Tournament problem (TPT), where we ask for a packing of k directed triangles in a tournament, and the Induced 2-Path-Packing (I2PP) where we ask for a packing of k induced paths of length two in a graph. the existence of a sub-quadratic kernels for these problems was proven for the first time in [Fomin, Le, Lokshtanov, Saurabh, thomasse, Zehavi. acm Trans. algorithms, 2019], where they gave a kernel of O(k(3/2)) vertices and O(k(5/3)) vertices respectively. In the same paper it was questioned whether these bounds can be (optimally) improved to linear ones. Motivated by this question, we apply the rainbow matching technique and prove that TPT admits an (almost linear) kernel of k(1+ O(1)/root log k) vertices and that I2PP admits a kernel of O(k) vertices.

关键词： Kernelization Parameterized algorithms Rainbow matching Packing problems

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Excluding Single-Crossing Matching Minors in Bipartite Graphs 34

Excluding Single-Crossing Matching Minors in Bipartite Graph...

引用

34th acm-siam Annual symposium on discrete algorithms (SODA)

作者： Giannopoulou, Archontia C. thilikos, Dimitrios M. Wiederrecht, Sebastian Natl & Kapodistrian Univ Athens Dept Informat & Telecommun Athens Greece Univ Montpellier CNRS LIRMM Montpellier France Inst for Basic Sci Korea Discrete Math Grp Daejeon South Korea

ISBN: (纸本)9781611977554

By a seminal result of Valiant, computing the permanent of (0, 1)-matrices is, in general, #P-hard. In 1913 P ' olya asked for which (0, 1)-matrices A it is possible to change some signs such that the permanent of A equals the determinant of the resulting matrix. In 1975, Little showed these matrices to be exactly the biadjacency matrices of bipartite graphs excluding K-3,K-3 as a matching minor. this was turned into a polynomial time algorithm by McCuaig, Robertson, Seymour, and thomas in 1999. However, the relation between the exclusion of some matching minor in a bipartite graph and the tractability of the permanent extends beyond K-3,K-3. Recently it was shown that the exclusion of any planar bipartite graph as a matching minor yields a class of bipartite graphs on which the permanent of the corresponding (0, 1)-matrices can be computed efficiently. In this paper we unify the two results above into a single, more general result in the style of the celebrated structure theorem for single-crossing-minor-free graphs. We identify a class of bipartite graphs strictly generalising planar bipartite graphs and K-3,K-3 which includes infinitely many non-Pfaffian graphs. the exclusion of any member of this class as a matching minor yields a structure that allows for the efficient evaluation of the permanent. Moreover, we show that the evaluation of the permanent remains #P-hard on bipartite graphs which exclude K5,5 as a matching minor. this establishes a first computational lower bound for the problem of counting perfect matchings on matching minor closed classes. As another application of our structure theorem, we obtain a strict generalisation of the algorithm for the k-vertex disjoint directed paths problem on digraphs of bounded directed treewidth.

关键词： Graphic methods

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