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南京师大学报（自然科学版） 2013年第3期36卷 1-5页

作者：陈培军黄建国张小群上海交通大学数学系科学工程计算教育部重点实验室上海200240 太原科技大学数学系山西太原030024 上海交通大学自然科学研究院上海200240

很多实际问题根据不同的物理背景,解的取值是有一定限制的.本文拟推广PDFP2O算法以求解带闭凸集约束的可分离凸优化问题.通过将闭凸集约束表示成示性函数而加入目标函数中的技巧,适当重组函数,可直接利用PDFP2O算法求解,再利用函数的可... 详细信息

很多实际问题根据不同的物理背景,解的取值是有一定限制的.本文拟推广PDFP2O算法以求解带闭凸集约束的可分离凸优化问题.通过将闭凸集约束表示成示性函数而加入目标函数中的技巧,适当重组函数,可直接利用PDFP2O算法求解,再利用函数的可分离性,即可得到闭凸集上的基于邻近算子的原始对偶不动点算法(PDFP2OC).因为PDFP2OC本质上就是利用PDFP2O求解与原问题等价的无约束问题,根据PDFP2O的理论结果,可以方便地得到PDFP2OC的收敛性以及收敛速度.最后通过CT重构说明了算法的有效性.

关键词：凸约束可分离凸优化邻近算子不动点算法

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关于两类原始对偶不动点算法的加速及其应用研究

关于两类原始对偶不动点算法的加速及其应用研究

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作者：黄文丽南昌大学

学位级别：硕士

近年来,两个及以上凸函数和的优化问题受到广泛关注和研究,实际应用中的许多优化模型都可以归结为这些凸优化问题的特例,包括信号和图像处理、机器学习和经济管理等。然而,由于这些问题通常是不光滑以及变量比较多,传统的优化方法无法... 详细信息

近年来,两个及以上凸函数和的优化问题受到广泛关注和研究,实际应用中的许多优化模型都可以归结为这些凸优化问题的特例,包括信号和图像处理、机器学习和经济管理等。然而,由于这些问题通常是不光滑以及变量比较多,传统的优化方法无法直接使用或计算代价大。为克服这些困难,基于算子分裂和原始对偶的方法成为研究的热点。本文主要研究两类原始对偶不动点算法的加速研究,分别提出超松弛原始对偶不动点算法和预处理原始对偶不动点算法,研究所提算法的收敛性和收敛率等性质。同时,将所提算法应用于具体图像复原问题。全文分为四章,具体内容如下:第一章,首先介绍两个及以上凸函数和的优化问题的背景及相关算法的研究现状。然后回顾本文所涉及到的一些符号、定义和定理等。最后,对本文主要研究内容进行阐述。第二章,提出超松弛原始对偶不动点算法求解两个凸函数和的优化问题。相比于原始对偶不动点算法,本章所提超松弛算法扩展了松弛参数的选择范围。运用平均非扩张算子不动点理论,证明所提迭代算法的收敛性,并证明算法的遍历收敛率。在假设目标函数满足强凸的条件时,证明算法具有全局线性收敛率。为验证算法的有效性和优越性,将所提算法运用于求解全变分图像去模糊问题,数值结果表明,选择松弛参数大于1(即超松弛)的原始对偶不动点算法比松弛参数小于1时算法收敛更快。第三章,提出预处理原始对偶不动点算法求解三个凸函数和的优化问题。通过定义合适的范数,证明所提预处理算法的收敛性。同时,建立所提算法与其他算法的联系。进一步,证明所提预处理算法的遍历收敛率。并在假设目标函数满足一些强的条件时,证明算法具有全局线性收敛率。为验证算法的有效性和优越性,将所提算法运用于求解具有约束的全变分图像去模糊问题,数值结果表明,所提预处理算法比其他原始对偶算法所需迭代步数更少。第四章,对全文进行总结,并给出未来研究工作的方向。

关键词：原始对偶方法不动点算法邻近算子超松弛预处理

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解决全变分模型降噪问题的自适应不动点算法

解决全变分模型降噪问题的自适应不动点算法

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作者：郝兴华大连理工大学

学位级别：硕士

由于Rudin、Osher和Fatemi提出的全变分模型在去噪声的同时很好的兼顾了保留图像的边缘和细节的要求,全变分模型及其推广被广泛的使用在针对各种噪音的降噪,去模糊等图像恢复问题上.所有的这类图像恢复模型,都可以简洁的概括为如下两个... 详细信息

由于Rudin、Osher和Fatemi提出的全变分模型在去噪声的同时很好的兼顾了保留图像的边缘和细节的要求,全变分模型及其推广被广泛的使用在针对各种噪音的降噪,去模糊等图像恢复问题上.所有的这类图像恢复模型,都可以简洁的概括为如下两个下半连续的正常凸函数加和的最小值问题argmin{Φ（x）+Ψ（Bx）:x ∈ R~n}, （1）其中B为一个线性映射.在实际的图像恢复模型中,函数Φ（·）和Ψ（·）至少有一个是非光滑的.这使得问题（1）非常难以计算Micchelli利用了迫近算子的概念,将问题（1）等价的转化为求一个与迫近算子关系紧密的算子的不动点的问题.对不动点算法进一步的推广,使得我们可以将许多已有的算法都归结为不动点算法的一个特殊形式.Goldstein和Osher提出的Split Bregman算法利用目标函数变量解耦的方式改进了Bregman迭代算法,可以非常高效的解决ROF全变分模型.这个算法在其中的一个子问题的求解精度不高时,仍然能保证收敛性.这就为我们改进这个算法提供了空间.本文将基于对Split Bregman算法的改进,给出一个不动点算法,并利用不动点算法的理论框架证明其收敛性.最后,我们对本文给出的算法的参数进行自适应调整,并用数值实验验证其有效性.

关键词： ROF全变分模型不动点算法 Split Bregman算法图像去模糊图像降噪

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基于不动点算法的LLT去噪模型

基于不动点算法的LLT去噪模型

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作者：王天祎吉林大学

学位级别：硕士

图像是对现实世界的一种形象的描述,是我们经常用来记录和描述信息的载体。随着信息技术的发展,图像处理技术日益完善,并且成功在很多领域中得到广泛的应用。作为图像预处理技术的重要组成部分,图像去噪一直是一个热门的研究课题,它是... 详细信息

图像是对现实世界的一种形象的描述,是我们经常用来记录和描述信息的载体。随着信息技术的发展,图像处理技术日益完善,并且成功在很多领域中得到广泛的应用。作为图像预处理技术的重要组成部分,图像去噪一直是一个热门的研究课题,它是很多图像后期技术的基础与必要模块。本文首先在绪论部分介绍了数字图像技术的概念与历史,以及基于偏微分方程的图像处理技术的发展过程。接着解释了图像成像模型与数字图像的噪声及噪声的形成过程。第一部分结合了贝叶斯理论,推导了一般去噪模型的形式：并且详细介绍了变分法与Eu1er-Lagrange方程及其与求解去噪模型能量泛函的关系。并且以TV模型为重点,利用局部坐标,分析了模型各向异性的性质,简要说明了两种TV范数的区别与联系。接下来介绍了低阶去噪模型的优势与缺点,借此引入了高阶去噪模型。并介绍了具有代表性的LLT模型同时也阐述了高阶模型的优势与存在的问题,可以有效的抑制低阶模型的“块状效应”,但也存有着高阶模型所共性的问题。最后介绍了两种代表性模型的数值格式与数值解法。第二部分介绍了不动点算法以及相关的理论基础,阐述了近似算子与函数极值的关系,并依此推导了LLT模型的不动点方程其中H按如下定义H:=(I-prox1/λφ)(?)A并且说明了不动点方程的收敛性条件与LLT模型的适用性。接着介绍了不动点方程的具体解法第四部分我们进行了细致的数值试验,对LLT模型进行了基于变分法的数值格式实验,与基于不动点算法的数值实验。分别在抑制”块状效应“和去噪效果两方面进行了对比性的数值试验。对实验结果进行了分析,分析得出,不动点算法不仅继承了高阶方程的优良性质,而且能获得更好的去噪效果,并且具备稳定和快速的特点。

关键词：图像去噪 TV模型 LLT模型变分法不动点算法

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求解一类非线性问题不动点算法的研究

求解一类非线性问题不动点算法的研究

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作者：李文楠哈尔滨师范大学

学位级别：硕士

非线性微分方程是现代数学一个非常重要的分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,无论是在实际应用中还是理论研究中都具有非常重要的地位,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,生命科学,经济等领域有着广泛应用.现在,非线性微分方... 详细信息

非线性微分方程是现代数学一个非常重要的分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,无论是在实际应用中还是理论研究中都具有非常重要的地位,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,生命科学,经济等领域有着广泛应用.现在,非线性微分方程在许多方面获得了日新月异的应用.这些应用也为非线性微分方程的进一步发展提出了新问题,促使人们对微分方程进行更深入的研究,以便适应科学技术飞速发展的需要,因此求解非线性微分方程的数值解变得越来越重要.再生核空间是一种特殊的Hillbert空间.再生核空间中的内积计算对于求解边值问题是有优势的.利用不动点的迭代格式,不仅便于计算而且具有优良的收敛性.应用这两种方法来求解方程,具有极其重要的理论意义,并且求得的解更逼近于精确解.本文通过对再生核方法与不动点的算法的有机结合,针对三阶和四阶非线性微分方程的边值问题进行求解,根据模型特点,相应地建立了符合其边值条件的再生核空间并给出相应的内积,进而将再生核方法与不动点算法求出此类方程的近似解,并给出误差分析及收敛性证明的结论,最后通过一些数值算例验证了算法的有效性.

关键词：再生核方法不动点算法非线性收敛性边值问题

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关于两类原始对不偶不动点算法的加速及其应用研究

关于两类原始对不偶不动点算法的加速及其应用研究

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作者：黄文丽南昌大学

学位级别：硕士

近年来，两个及以上凸函数和的优化问题受到广泛关注和研究，实际应用中的许多优化模型都可以归结为这些凸优化问题的特例，包括信号和图像处理、机器学习和经济管理等。然而，由于这些问题通常是不光滑以及变量比较多，传统的优化方法... 详细信息

近年来，两个及以上凸函数和的优化问题受到广泛关注和研究，实际应用中的许多优化模型都可以归结为这些凸优化问题的特例，包括信号和图像处理、机器学习和经济管理等。然而，由于这些问题通常是不光滑以及变量比较多，传统的优化方法无法直接使用或计算代价大。为克服这些困难，基于算子分裂和原始对偶的方法成为研究的热点。本文主要研究两类原始对偶不动点算法的加速研究，分别提出超松弛原始对偶不动点算法和预处理原始对偶不动点算法，研究所提算法的收敛性和收敛率等性质。同时，将所提算法应用于具体图像复原问题。全文分为四章，具体内容如下：　　第一章，首先介绍两个及以上凸函数和的优化问题的背景及相关算法的研究现状。然后回顾本文所涉及到的一些符号、定义和定理等。最后，对本文主要研究内容进行阐述。　　第二章，提出超松弛原始对偶不动点算法求解两个凸函数和的优化问题。相比于原始对偶不动点算法，本章所提超松弛算法扩展了松弛参数的选择范围。运用平均非扩张算子不动点理论，证明所提迭代算法的收敛性，并证明算法的遍历收敛率。在假设目标函数满足强凸的条件时，证明算法具有全局线性收敛率。为验证算法的有效性和优越性，将所提算法运用于求解全变分图像去模糊问题，数值结果表明，选择松弛参数大于1（即超松弛）的原始对偶不动点算法比松弛参数小于1时算法收敛更快。　　第三章，提出预处理原始对偶不动点算法求解三个凸函数和的优化问题。通过定义合适的范数，证明所提预处理算法的收敛性。同时，建立所提算法与其他算法的联系。进一步，证明所提预处理算法的遍历收敛率。并在假设目标函数满足一些强的条件时，证明算法具有全局线性收敛率。为验证算法的有效性和优越性，将所提算法运用于求解具有约束的全变分图像去模糊问题，数值结果表明，所提预处理算法比其他原始对偶算法所需迭代步数更少。　　第四章，对全文进行总结，并给出未来研究工作的方向。

关键词：原始对偶不动点算法邻近算子超松弛预处理

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非线性算子最佳邻近点定理不动点算法及应用

非线性算子最佳邻近点定理不动点算法及应用

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作者：张婧玲天津工业大学

学位级别：硕士

该文在度量空间，偏序度量空间中证明了几类广义压缩映像的最佳邻近点定理，提出并使用单调混杂算法证明了几类弱相对非扩张映像不动点的若干强收敛定理.同时，将相对拟非扩张映像，极大单调算子及广义混杂均衡问题结合，进行了深入研究... 详细信息

该文在度量空间，偏序度量空间中证明了几类广义压缩映像的最佳邻近点定理，提出并使用单调混杂算法证明了几类弱相对非扩张映像不动点的若干强收敛定理.同时，将相对拟非扩张映像，极大单调算子及广义混杂均衡问题结合，进行了深入研究.此外，探究了伪压缩映像不动点定理在解线性方程组中的应用问题.该文所得结果改进，推广和统一了许多学者的最新研究成果.全文共分六部分:第一部分是绪论，介绍了不动点理论在非线性泛函分析中的重要作用，以及非线性算子迭代算法的知识背景和研究现状.第二部分在度量空间和偏序度量空间中，提出了一种新的证明方法，使用该方法研究了几类广义压缩映像的最佳邻近点定理.第三部分在Banach空间中构造了弱相对非扩张映像与集值弱相对非扩张映像的单调混杂算法，并给出相应例子说明弱相对非扩张可数族映像的存在性及对相对非扩张可数族映像的真包含性.第四部分在Banach空间中证明了均衡问题解集和相对拟非扩张映像不动点集公共元的强收敛定理，并将主要结果应用于一类最优化问题.其次，构造了一种广义投影算法，应用此算法能够逼近到相对拟非扩张映像不动点集，极大单调算子零点集及广义混杂均衡问题解集的公共元.第五部分将伪压缩映像不动点定理应用于研究线性方程组解的问题，得到了线性方程组有唯一解的充分条件，并给出一个使用不动点迭代算法求解具体线性方程组的例子.最后是结论与展望.

关键词：非线性算子最佳邻近点定理不动点算法线性方程组迭代算法

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美式期权定价中线性互补问题的不动点算法研究

美式期权定价中线性互补问题的不动点算法研究

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作者：师宪军天津大学

学位级别：硕士

期权作为金融工程领域中最重要的衍生产品之一，种类繁多，品种各异。但是，除了极少数标准的欧式期权具有解析解之外，其他的大多数的期权价格都只能通过数值方法求解得到，其中以美式期权定价问题尤为基础和经典。本文就是通过离散化... 详细信息

期权作为金融工程领域中最重要的衍生产品之一，种类繁多，品种各异。但是，除了极少数标准的欧式期权具有解析解之外，其他的大多数的期权价格都只能通过数值方法求解得到，其中以美式期权定价问题尤为基础和经典。本文就是通过离散化把原先的经典Black-Scholes-Merton模型转化成线性互补问题来求解美式期权的价格。而互补问题已经发展了很多年，并已成为许多领域非常重要的数学工具，同时形成了较为成熟的理论基础。但是本文考虑到美式期权定价问题所转化成的线性互补问题的特殊性，并以此作为前提找到更为高效的方法。此外，我们在用有限差分方法对原问题进行差分时，同样有很多的差分格式去选择，例如显式格式，隐式格式和Crank-Nicolson格式等等。具有了上述知识之后，本文依据美式期权定价问题的特殊性来设计相应的算法。在广泛查阅国内外文献的基础上，本文深入研究该问题的求解方法，并提出了求解美式期权定价问题的不动点算法，主要内容如下： 1.首先，介绍了期权定价问题的来源及其发展概况，说明了研究期权定价的必要性。此外还讨论了期权定价模型的发展以及现有的模型和解这些模型的现有的各种数值方法。 2.其次，对美式期权定价问题进行了描述，介绍其现有的数学模型，对已有的有限差分方法进行了介绍，此外还重点对Crank-Nicolson差分格式的稳定性、相容性和收敛性进行了相应的分析。通过有限差分方法，把该模型离散化成线性互补问题。 3.再者，给出了本文提出的求解美式期权定价问题的新方法—不动点算法。并根据离散化后问题的特殊性，证明了系数矩阵是P矩阵，结合线性互补问题的性质，给出了该算法的收敛性证明。 4.最后，通过MATLAB实现算法，给出数值试验结果并对其进行了相应的分析。通过实验结果的分析说明不动点算法更能有效地求解美式期权的定价问题。不动点算法更加稳定，能随着差分的细化，使得计算结果的精度增加。

关键词：美式期权定价有限差分方法 Crank-Nicolson差分格式不动点算法线性互补问题

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解决全变分图像降噪模型的自适应不动点算法

解决全变分图像降噪模型的自适应不动点算法

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作者：郝兴华大连理工大学

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由于Rudin、Osher和Fatemi提出的全变分模型在去噪声的同时很好的兼顾了保留图像的边缘和细节的要求，全变分模型及其推广被广泛的使用在针对各种噪音的降噪，去模糊等图像恢复问题上.所有的这类图像恢复模型，都可以简洁的概括为如下... 详细信息

由于Rudin、Osher和Fatemi提出的全变分模型在去噪声的同时很好的兼顾了保留图像的边缘和细节的要求，全变分模型及其推广被广泛的使用在针对各种噪音的降噪，去模糊等图像恢复问题上.所有的这类图像恢复模型，都可以简洁的概括为如下两个下半连续的正常凸函数加和的最小值问题\n argmin{(φ)(x)+(Ψ)(Bx):x∈(R)n｝，(1)\n 其中B为一个线性映射.\n 在实际的图像恢复模型中，函数(φ)(·)和(Ψ)(·)至少有一个是非光滑的.这使得问题(1)非常难以计算.Micchelli利用了迫近算子的概念，将问题(1)等价的转化为求一个与迫近算子关系紧密的算子的不动点的问题.对不动点算法进一步的推广，使得我们可以将许多已有的算法都归结为不动点算法的一个特殊形式.\n Goldstein和Osher提出的Split Bregman算法利用目标函数变量解耦的方式改进了Bregman迭代算法，可以非常高效的解决ROF全变分模型.这个算法在其中的一个子问题的求解精度不高时，仍然能保证收敛性.这就为我们改进这个算法提供了空间.\n 本文将基于对Split Bregman算法的改进，给出一个不动点算法，并利用不动点算法的理论框架证明其收敛性.最后，我们对本文给出的算法的参数进行自适应调整，并用数值实验验证其有效性.

关键词：全变分模型不动点算法图像降噪 Bregman算法图像去模糊

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不可微规划的极大熵不动点算法

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应用数学 1999年第4期12卷 117-120页

作者：孟香惠深圳广播电视大学深圳518008

本文将极大熵逼近方法和不动点计算方法有机地结合，提出了一种不可微规划计算方法．该方法同样也适用于求解可微规划。

关键词：不可微规划极大熵不动点算法收敛性

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