对流扩散方程是一类重要的偏微分方程,可以描述许多物理现象。它是一类基本的运动方程,是描述粘性流体的非线性方程的线性化模型方程,它可以用来描述河流污染、大气污染、核废料污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象。所以对对流扩散方程数值解的研究是具有十分重要的理论和实际应用意义的。求对流扩散方程的数值解的方法有多种,其中有限差分方法是重要的数值计算方法之一。
随着高性能计算机的飞速发展及其应用的日益广泛,并行算法也变得越来越重要,经过几十年的发展,已经取得了很大的成功,尤其是最近二十多年来发展迅速,研究成果颇多,D.J. Evans, A. R. B. Abdullah,周毓麟,张宝琳,袁光伟等人为此做出了不懈的努力。
本文研究扩散方程及对流扩散方程的并行差分格式。首先,在第二章中基于一类指数型差分格式,构造出一种求解对流扩散方程的交替分段显一隐式(ASE-I)方法。该方法具有并行本性,并且无条件稳定。数值实验表明,该方法优于传统的交替分段显一隐式方法。其次,在第三章中构造出一个带松弛变量的差分格式,然后利用新的差分格式构造出了求解对流扩散方程的并行加权交替分组显式迭代方法(AGEI),并且证明了所得格式的稳定性。数值实验表明此方法是有效的。再次,在第四章中根据方程的相似性,构造出一种求解Burgers方程的新的并行方法。并讨论了它的线性稳定性,且该方法具有并行本性。通过数值实验表明,该方法具有良好的精度,是求解Burgers方程的一种较好的方法。然后,在第五章中还研究了二维热传导方程的区域分解新算法。在计算内点值时,我们采用全隐格式,计算内边界点时,采用新的分数步空间大步长隐式格式。对于一维问题可以把稳定性条件扩大2m2q倍,而对于二维问题可以把稳定性条件扩大4m2q倍(q为两个相邻时间步之间执行分数步的次数；m为空间大步长与标准步长的比值)。最后,将第四章和第五章中的一些并行差分格式在并行机上进行了数值实验。每章都给出了一些数值实验,计算结果验证了理论分析的结论,说明了这些格式是健壮有效的。
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