该项目属于数学领域的基础理论研究。
代数学是基础数学的核心领域之一。该项目主要围绕代数学的两大课題：半群理论和代数表示论，对相关的前沿基础问題进行了深入研究。主要成果是对所完成国家自然科学基金面上项目(编号：11571164)、国家自然科学基金青年项目（编号：11501430)、国家自然科学基金天元项目(编号：11626179)、陕西省自然科学基金青年项目（编号：2016JQ1001、2017JQ1012)和中国博士后科学基金面上项目（编号：2015M580812）研究成果的凝练和总结。所取得的主要学术成果如下：
1.半群的字问题
国际知名半群专家K.S.S. Nambooripad在其重要论文[Mem. Amer. Math. Soc., 224, 1979]中提出了自由幂等生成半群的概念和关于此类半群代数结构的若干公开问题，包括字问题、极大子群、（广义）正则性、隶属问题等。该子课题从组合群论角度，证明了自由幂等生成半群的字问题等价于它的有限表现子群的约束满足问题(constrain satisfaction problem)。此外，证明了基于有限双序集的自由幕等生成半群是Fountain半群，这里的Fountain性质是一类重要的广义正则性，来源于序范畴。该研究为自由幂等生成半群的更多组合问题，如隶属问题（membershipproblem)等的研究提供了理论基础。
2.半群的极大子群
该子课题研究了自由群作用的自同态半群，得到了基于此类半群双序集的自由幂等生成半群的极大子群的分类。作为本结果的一个重要应用，证明了任意一个群都同构于自由幂等生成半群的一个极大子群，从而否定地回答了半群研究领域的一个长达30多年的著名猜想：自由蒂等生成半群的极大子群必为自由群（论文[Israel J. Math., 2021，245，347-387]对此猜想的发展历史进行了介绍)。该项研究为在更广泛的代数对象V*-代数（其子类包括集合，向量空间，自由群作用等）范畴内研究自由幂等生成半群的极大子群提供了理论基础。
3.半群的Rees矩阵覆盖
该子课题致力于广义正则半群的Rees矩阵覆盖研究。针对一类重要的广义正则半群：局部U-交换半群，给出了它的Rees矩阵覆盖定理。证明了任意一个局部U-交换半群都是某个强连接的半群胚上的Rees矩阵半群的严格同构像。该结果统一并推广了关于局部逆半群、局部适当半群以及局部Ehresmann半群的Rees矩阵覆盖定理，进一步阐释了Morita等价和Rees矩阵覆盖之间的联系。
4.相对正合结构的奇点范畴
该子课题研究了阿贝尔范畴上相对于子范畴的正合结构。考察了该正合结构的相对Gorenstein投射对象和真Gorenstein分解维数。证明了相对Gorenstein投射对象的全体构成了Frobenius范畴。提出了相对奇点范畴的概念，明确了相对奇点范畴所继承的经典奇点范畴的相关信息并研究了相对Gorenstein亏格范畴的理论。作为主要结果，给出了相对奇点范畴三角等价于相对Gorenstein投射对象的稳定范畴的充分必要条件，推广了Buchweitz-Happel定理及其逆定理。该研究为相对正合结构中奇点范畴及相关问题的研究提供了理论基础。
5.基于平衡对的余挠理论
该子课题在平衡对的情形下，巧妙地建立了相对同调函子的余挠理论。给定阿贝尔范畴中一个平衡对，考虑了与之对应的相对Ext函子。基于该平衡对，引入了相对余烧对的定义。给出了遗传（hereditary)、完备（complete)及完美（perfect)相对余烧对存在的等价刻画。证明了阿贝尔范畴中的平衡对、具有足够多投射和内射对象的正合范畴、Ext函子的双子函子这三个集合之间存在着一一对应。该结果拓展和深化了经典余挠理论的研究框架，为相对余挠理论奠定了理论基础。
项目中呈现的5篇代表性论文分别发表在国内外权威期刊《Advances in Mathematics》、《Journal of Algebra》、(Journal of Pure and Applied Algebra》、《Science China-Mathematics》、《Communications in Algebra》上。该项目取得的成
果深化和创新了半群理论和代数表示论的相关研究，得到了国内外同行学者的好评与认可，包括澳大利亚J. East、英国R. Gray、伊朗P. Moradifar和S. Yassemi、国内学者高楠等人发表在《Journal of Algebra》、《Journal of Combinatorial Theory Series A》、《Algebras and Representation Theory》、《Science China-M
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