检索结果-内蒙古大学图书馆

作者：王晓荣中国科学院大学

学位级别：博士

两相不可压磁流体力学问题具有重要的科学意义与较高的应用价值，广泛应用在冶金化工、航空航天、核反应堆以及受控热核聚变等领域。本论文研究三维两相不可压磁流体问题的建模分析及其数值方法，主要包括以下三部分内容。　　本文第一... 详细信息

两相不可压磁流体力学问题具有重要的科学意义与较高的应用价值，广泛应用在冶金化工、航空航天、核反应堆以及受控热核聚变等领域。本论文研究三维两相不可压磁流体问题的建模分析及其数值方法，主要包括以下三部分内容。　　本文第一部分基于相场方法，建立了一个描述三维区域上两相不可压缩无感应磁流体问题的数学模型。该方程组由不可压Navier-Stokes方程、电流电势方程和Cahn-Hilliard方程耦合得到。我们推导了模型的连续变分问题，提出了一种质量守恒的全离散格式。其中，时间离散采用Euler半隐格式，Cahn-Hilliard方程中非线性项的处理采用凸分裂(Convex-Splitting)格式。我们采用H(div)协调的Brezzi-Douglas-Marini(BDM)元来逼近电流密度，保证了格式在任一时间步都是电荷守恒的。我们建立了离散能量耗散律，分析了全离散格式的无条件能量稳定性。利用紧性技巧证明了离散解的收敛性。在一定的光滑假设条件下，证明了模型弱解的存在唯一性。最后，通过一系列数值实验表明模型的可靠性与格式的有效性，设计了气泡融合、气泡剪切形变及Kelvin-Helmholtz(KH)不稳定性等算例，捕捉了流体运动中一些本质的现象特征。　　本文第二部分研究三维有界Lipschitz区域上的两相不可压缩感应磁流体问题的数值方法，提出了一个两相不可压缩感应磁流体的扩散界面模型。为了求解该多物理场强耦合的非线性方程组，基于凸分裂思想，我们采用全离散混合有限元格式。该格式采用H1协调的Lagrange节点有限元来逼近速度场，H(curl)协调的Nédélec棱单元来逼近磁感应强度。离散能量耗散不等式表明了该全离散格式是无条件能量稳定的。我们通过Leray-Schauder不动点原理证明了离散格式数值解的存在性，并且证明了当网格尺寸和时间步长趋于零时，存在离散解的子列收敛于连续变分问题的弱解。在弱解的光滑性假设条件下，证明了弱解是唯一的。最后，通过一些数值实验分别验证了该格式在时间、空间上的误差收敛阶，模拟了气泡融合以及气泡在剪切流和剪切磁感应强度下的形变现象。　　本文第三部分研究三维两相不可压感应磁流体数学模型的解耦数值方法，基于一阶向后Euler格式提出了一种线性解耦的时间半离散格式，非线性耦合项采用半隐格式处理，通过添加一个稳定化项来处理非线性双井势。我们引入两个辅助速度变量将相场方程、电磁方程和流体方程的计算进行解耦，这样在每个时间步只需要求解线性椭圆方程。基于半离散格式提出了一个线性、解耦的全离散格式，其中空间上采用有限元方法离散。该格式避免了迭代求解非线性系统带来的超负荷计算，可以极大的提高计算效率。我们证明了该格式是质量守恒的，并且是无条件的能量稳定的，满足离散能量耗散律。最后通过一些数值算例测试该格式的时间空间收敛精度、质量守恒性以及能量稳定性等。

关键词：三维两相不可压缩磁流体扩散界面模型线性解耦全离散格式

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几类非线性流体力学及相场模型的有限元方法研究

几类非线性流体力学及相场模型的有限元方法研究

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作者：刘倩郑州大学

学位级别：博士

流体力学及相场问题的有限元方法研究一直都是人们所关注的热点问题.本论文主要针对其中几类有着重要物理意义以及广泛应用背景的非线性模型(如非稳态Brinkman-Forchheimer方程、带有阻尼项的非稳态Navier-Stokes方程、非稳态自然对流... 详细信息

流体力学及相场问题的有限元方法研究一直都是人们所关注的热点问题.本论文主要针对其中几类有着重要物理意义以及广泛应用背景的非线性模型(如非稳态Brinkman-Forchheimer方程、带有阻尼项的非稳态Navier-Stokes方程、非稳态自然对流方程、Cahn-Hilliard方程、Allen-Cahn方程、Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程),从协调有限元、非协调有限元、混合有限元、二重网格有限元等不同方法和角度出发,采取一些具有自身特色的分析手段(例如引入平均值技巧、关于时间步长的转移技巧(也可以将其视为离散的导数转移)、在不同的时间层取差商等等),创新性地研究各个问题相应全离散格式的收敛性、超逼近及超收敛性,并设计相应的数值实验对理论进行验证.论文主要的创新性工作在于:1)针对非稳态的非线性Brinkman-Forchheimer方程提出了与传统混合有限元方法相比更高效的二重网格算法,得到了相应全离散格式的最优误差估计;针对带有阻尼项的非稳态Navier-Stokes方程,提出了它的一个基于非协调单元的混合有限元逼近格式,首次得到了各变量的超逼近及超收敛误差,改善了以往文献仅有最优误差估计的结果;2)讨论了目前为止尚未涉及的关于非稳态自然对流方程的线性化欧拉全离散格式及二阶BDF格式的超逼近及超收敛性.不同于以往大部分文献借助投影来进行分析的思路,我们采用了上述的一些新的估计技巧,得到了高精度的误差估计.特别地,通过时空误差分裂技巧,得到了线性化欧拉全离散格式无需时空步长比限制的超收敛结果;3)分别构造了Cahn-Hilliard及Allen-Cahn方程基于协调的双线性元及非协调有限元的二重网格算法,得到了相应离散格式下各变量的超逼近及超收敛性.特别地,对于Allen-Cahn方程,我们利用非线性项所具有的单调性质,给出了数值格式更具一般性的稳定性分析,去掉了以往许多文献中所需的8)(6|1)()|≤的限制,进一步完善了相关研究;4)讨论了Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程基于凸分裂的有限元全离散格式的严格误差分析.我们利用非协调单元逼近耦合系统中Navier-Stokes方程,双线性元逼近Cahn-Hilliard方程,首次得到了相应离散格式下的超逼近及超收敛结果.首先,构造了非稳态Brinkman-Forchheimer方程基于协调元的混合有限元二重网格算法,利用一些常规的估计技巧,得到了Crank-Nicolson全离散格式下变量的最优误差估计,并通过数值实验验证了二重网格算法比传统有限元方法节省了约三分之二的计算量;此外,针对带有阻尼项的非稳态Navier-Stokes方程,提出了它的一个基于非协调CNR/元的线性化欧拉全离散格式,采取平均值技巧以及在相邻时间层取差商的技巧处理对流项及不可压缩条件的限制给分析造成的困难,得到了在能量模及在模意义下的超逼近误差,并利用插值后处理技巧,得到了整体的超收敛结果.其次,讨论了非稳态自然对流方程基于协调及非协调单元的混合有限元方法,这里主要包含三部分内容.第一,利用CNR/单元构造了问题的一个线性化欧拉全离散格式,通过引入平均值技巧、离散的导数转移技巧等处理对流项(·?)及耦合项·?.结合单元的性质,得到了各个变量的超逼近误差估计.同样,利用插值后处理技巧得到了整体超收敛性质;第二,我们仍然考虑自然对流问题的线性化欧拉时间离散格式,空间上则选取Bernadi-Rangel元来逼近速度及压力,双线性元逼近温度.不同于第一部分,这里我们通过引入时间离散系统的方法将误差分裂为时空两个部分,进而研究其无需时空步长比值限制的超逼近及超收敛性;第三,利用/单元构造了问题的一个线性化的二阶BDF全离散格式.通过建立新的导数转移公式、在不同时间层取差商并结合前两节估计所用到的一些技巧,得到了变量的超逼近及超收敛结果.再次,分别讨论了相场Cahn-Hilliard方程及Allen-Cahn方程的二重网格有限元算法.针对四阶Cahn-Hilliard方程,通过引入变量将问题转化为二阶耦合问题,建立了它的基于双线元的能量稳定的凸分裂全离散格式,并提出了相应的二重网格算法.利用在相邻时间层取差商的技巧处理变量间耦合带来的估计难度,得到了该算法下尚未涉及的超逼近及超收敛性;对于Allen-Cahn方程,则构造了它的一个基于非协调元的二重网格有限元算法.我们借助非线性项所具有的单调性质,在无需8)(6|1)()|≤限制的前提下,给出了数值格式的稳定性分析,并结合单元特性,得到了变量的超逼近误差以及整体超收敛性.最后,针对Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程,构造了它的一个基于Cahn-Hilliard方程凸分裂形式能量稳定的一

关键词：非线性流体力学方程非线性相场模型有限元方法非协调元全离散格式二重网格算法超逼近及超收敛数值实验

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Merton跳扩散期权模型的有限体积格式

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西南大学学报（自然科学版） 2019年第11期41卷 47-53页

作者：甘小艇徐登国楚雄师范学院数学与统计学院

考虑有限体积法定价欧式的Merton型跳扩散期权模型.基于线性有限元空间,构造了向后Euler和Crank-Nicolson两种全离散有限体积格式,且离散矩阵均为M-矩阵.针对方程中的积分项,采用一类高效的线性插值技术进行逼近.数值实验验证了本文方... 详细信息

考虑有限体积法定价欧式的Merton型跳扩散期权模型.基于线性有限元空间,构造了向后Euler和Crank-Nicolson两种全离散有限体积格式,且离散矩阵均为M-矩阵.针对方程中的积分项,采用一类高效的线性插值技术进行逼近.数值实验验证了本文方法的有效性和稳健性.

关键词： Merton跳扩散期权有限体积法全离散格式数值实验

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Sobolev方程非协调混合有限元格式的收敛性分析

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郑州大学学报（理学版） 2015年第4期47卷 6-11,16页

作者：石东洋闫凤娜郑州大学数学与统计学院河南郑州450001

基于非协调EQrot1元及零阶Raviart-Thomas元,对Sobolev方程提出了一个关于时间具有二阶精度的新混合有限元全离散格式.利用两单元插值算子性质,分别导出了原始变量u在能量模和中间变量q=-("ut+"u)在L2模意义下的最优误差估计... 详细信息

基于非协调EQrot1元及零阶Raviart-Thomas元,对Sobolev方程提出了一个关于时间具有二阶精度的新混合有限元全离散格式.利用两单元插值算子性质,分别导出了原始变量u在能量模和中间变量q=-("ut+"u)在L2模意义下的最优误差估计.最后给出数值算例验证了理论分析的正确性.

关键词： Sobolev方程新混合有限元方法全离散格式最优误差估计

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间断有限元方法的稳定性、误差估计及超收敛性分析

间断有限元方法的稳定性、误差估计及超收敛性分析

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作者：周玲玲中国科学技术大学

学位级别：博士

本文围绕间断有限元(DG)方法半离散格式的超收敛性以及全离散格式的稳定性和误差估计展开深入研究,内容主要分为三个部分。首先,我们针对一维线性Schrodinger方程的半离散局部间断有限元(LDG)方法进行了超收敛分析。本项工作的核心思想... 详细信息

本文围绕间断有限元(DG)方法半离散格式的超收敛性以及全离散格式的稳定性和误差估计展开深入研究,内容主要分为三个部分。首先,我们针对一维线性Schrodinger方程的半离散局部间断有限元(LDG)方法进行了超收敛分析。本项工作的核心思想是利用LDG格式的能量方程,构造一个特殊的插值函数,并证明LDG解在L2范数意义下以2k+1阶超收敛到插值函数,其中k是多项式空间的最高次数。虽然Schrodinger方程只含有二阶空间导数,但是由于虚数单位i,它实际上是一个波动方程,且相应LDG格式的有限元空间是一个复值函数空间。与抛物方程相比,Schrodinger方程LDG方法的超收敛分析更加困难和复杂。通过构造特殊的修正函数及合适的初值离散,我们严格地证明了由修正函数和Gauss-Radau投影定义的插值函数与LDG解的误差是超收敛的,且收敛阶为2k+1。借助于此项超收敛结果,我们进一步证明了区域平均、区间平均和数值迹的逐点误差皆以2k+1阶的速度超收敛。此外,我们还得到了函数值及其导数在Radau点k+2阶的超收敛结果。数值算例验证了我们的理论成果。其次,我们研究对流扩散方程特殊全离散格式的稳定性和误差估计,其中时间离散采用半隐式谱延迟修正(SDC)方法,空间离散采用LDG方法。SDC方法是一类基于Picard积分方程,通过对显式或隐式Euler方法迭代得到的时间离散方法。这种方法的一个重要优势为易构造高阶格式。然而,半隐式SDC方法的迭代过程产生的多个中间层函数以及隐式部分积分中左端点的参与增加了全离散格式理论分析的难度。更确切地说,与半隐式Runge-Kutta方法相比,半隐式SDC方法的测试函数更为复杂,能量方程更难构造。通过选取与左端点相关的测试函数,以及对不同层函数进行恰当地线性组合,我们证明了当时间步长被固定常数控制时,二阶、三阶半隐式SDC时间离散结合LDG方法的全离散格式是稳定的。此处固定常数与对流项、扩散项的系数有关,但与空间步长无关。在稳定性分析的基础上,我们证明了全离散格式在时间和空间上最优的误差估计。数值结果进一步验证了我们的理论发现。最后,我们研究线性守恒律方程在移动网格上的全离散格式的稳定性和误差估计,这里讨论的网格移动方法属于任意拉格朗日欧拉(ALE)方法。我们采用DG方法离散空间变量,所以称空间离散方法为ALE-DG方法。一至三阶显式且总变差减小的Runge-Kutta方法被用来离散时间变量。我们分析了相应全离散格式的稳定性以及误差。逼近空间对时间的依赖性增加了分析的难度。此项工作的核心技巧是尺度放缩和标准的能量估计。在合适的CFL条件下及选取Lax-Friedrichs数值流通量,我们给出了三种全离散格式的稳定性证明以及空间上次最优、时间上最优的收敛性。

关键词：间断有限元方法超收敛性全离散格式稳定性误差估计局部间断有限元方法任意拉格朗日欧拉间断有限元方法谱延迟修正方法

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时间分数阶扩散方程线性三角形元的高精度分析

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数学物理学报（A辑） 2019年第4期39卷 839-850页

作者：史艳华张亚东王芬玲赵艳敏王萍莉许昌学院数学与统计学院

该文基于线性三角形元和改进的L1格式,对具有α阶Caputo导数的时间分数阶扩散方程建立了一个全离散逼近格式.首先,证明了该格式的无条件稳定性.其次,利用该单元及Ritz投影算子的性质,导出了关于投影算子具有O(h^2+τ^2-α)阶的超逼近性... 详细信息

该文基于线性三角形元和改进的L1格式,对具有α阶Caputo导数的时间分数阶扩散方程建立了一个全离散逼近格式.首先,证明了该格式的无条件稳定性.其次,利用该单元及Ritz投影算子的性质,导出了关于投影算子具有O(h^2+τ^2-α)阶的超逼近性质.再结合插值算子和投影算子的关系,进一步导出了关于插值算子具有O(h^2+τ^2-α)阶的超逼近性质.然后,借助插值后处理技术得到了整体超收敛估计.最后,利用数值算例验证了理论分析的正确性.

关键词：时间分数阶扩散方程线性三角形元全离散格式无条件稳定超逼近和超收敛

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带变系数时间分数阶扩散方程一个新的非协调高阶逼近格式高精度分析新模式

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应用数学 2024年第4期37卷 1163-1172页

作者：王芬玲赵艳敏史艳华魏亚冰许昌学院数理学院河南许昌461000 江苏大学数学科学学院江苏镇江212013

基于时间高阶L2-1_(σ)格式和空间EQ_(1)^(rot)非协调有限元方法,对带有变系数的一类时间分数阶扩散方程进行了高效数值分析.首先,证明全离散逼近格式的解在能量模意义下的无条件稳定性.然后,利用该元的特殊性质,并将插值算子和投影算... 详细信息

基于时间高阶L2-1_(σ)格式和空间EQ_(1)^(rot)非协调有限元方法,对带有变系数的一类时间分数阶扩散方程进行了高效数值分析.首先,证明全离散逼近格式的解在能量模意义下的无条件稳定性.然后,利用该元的特殊性质,并将插值算子和投影算子相结合,导出了采用传统估计无法导出的超逼近结果.此外,利用插值后处理技术,呈现了整体超收敛估计.最后,借助数值实验,验证了理论分析的正确性.

关键词： EQ_(1)^(rot)非协调元全离散格式无条件稳定超逼近和超收敛

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正倒向随机微分方程的SInc方法及其应用研究

正倒向随机微分方程的SInc方法及其应用研究

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作者：王旭山东大学

学位级别：博士

正倒向随机微分方程(FBSDEs)是一种研究不确定性的有力工具,由定义在带有信息流的概率空间中给定初始条件的正向随机微分方程(SDE)和给定终端条件的倒向随机微分方程(BSDE)组成.FBSDEs的正倒向随机动态机制能够很好的揭示事物发展的客... 详细信息

正倒向随机微分方程(FBSDEs)是一种研究不确定性的有力工具,由定义在带有信息流的概率空间中给定初始条件的正向随机微分方程(SDE)和给定终端条件的倒向随机微分方程(BSDE)组成.FBSDEs的正倒向随机动态机制能够很好的揭示事物发展的客观规律、体现人们认识世界的思维特点.1978年,法国随机控制与随机分析专家Bismut[17]首先通过正向系统方程引入了线性倒向随机微分方程的概念.1990年,Pardoux和Peng在[91]中首次证明了非线性BSDE解的存在唯一性,这一重要研究成果奠定了 FBSDEs的理论基础.1991年,Peng在[96]中研究得到了非线性Feynman-Kac公式,建立了 FBSDEs的解与一类拟线性抛物型偏微分方程(PDEs)的解之间的联系.在此之后,FBSDEs被广泛关注和深入研究,在随机最优控制[57,67,95,110,137]、金融数学[12,34,42,87]、非线性期望[50,98]、PDEs 理论[8,11,93]等领域得到重要应用.FBSDEs的复杂结构使得该方程组的显式解析表达通常难以获得.因此,研究FBSDEs的数值方法具有很强的理论意义和现实意义.现存研究提出的FBSDEs数值方法大都是FBSDEs的时间半离散格式[5,22,28,135,141],半离散格式的应用必须离散其中的条件数学期望研究提出相应的时空全离散数值格式.在提出的全离散格式中,高效高精度逼近条件数学期望的过程中大都需要空间插值[31,142],这给FBSDEs全离散格式的研究带来了诸多困难和挑战.本文使用Sinc方法逼近条件数学期望研究提出FBSDEs不需插值的全离散Sinc格式,并将其应用于Allen-Cahn方程.对BSDEs,我们结合Sinc积分公式和θ-离散,通过合理选择Sinc积分公式中的参数,提出了求解BSDEs的非插值全离散Sinc-θ格式,并严格证明了 Sinc-θ格式的误差估计.对非耦合FBSDEs,我们结合Sinc积分公式和微分多步离散,通过积分变换和合理选择Sinc积分公式中的参数,提出了求解FBSDEs的全离散Sinc-多步格式,并严格理论分析了 Sinc-多步格式的稳定性和高阶收敛性.对Allen-Cahn方程,我们利用FBSDEs的Sinc格式研究提出了Allen-Cahn方程的Sinc格式,并对所提格式进行了严格数值理论分析.论文的主要贡献及创新1.使用Sinc逼近方法,结合正向SDE数值格式对应的积分变量替换,构造了条件数学期望的全离散Sinc逼近算子.该算子的最大特点是逼近条件数学期望时适当选择Sinc积分公式的参数可避免空间插值.它是研究提出FBSDEs的全离散Sinc格式的基础、保持了很多条件数学期望的优良性质、极大的提高了逼近条件数学期望的计算效率和精度、很好地解决了带间断解系统中空间插值不准确的问题、有助于我们实现全离散数值格式的严格理论分析.2.使用条件数学期望的全离散Sinc逼近算子和半离散广义θ-格式研究提出求解BSDEs的非插值全离散Sinc-θ格式.我们对所提格式进行了严格的稳定性分析和误差估计:误差估计表明Sinc-θ格式可达到时间二阶收敛和空间指数阶收敛.这是第一次对具有时间二阶收敛阶数的BSDEs的全离散格式进行理论分析.部分研究成果已发表于SIAM ***[125].3.基于传统的高阶微分多步格式,使用条件数学期望的全离散Sinc逼近算子研究提出求解FBSDEs的全离散Sinc-多步格式.该格式无需空间插值,并可达到时间方向上K-阶收敛和空间方向指数阶收敛.从理论上证明了由布朗运动驱动的FBSDEs的K步Sinc-多步格式的稳定性和K-阶误差估计.这是第一次对BSDEs的时空全离散多步格式进行理论分析.针对一般形式的FBSDEs,我们给出了 K=1时Sinc-单步格式的误差收敛性分析.部分研究成果已发表于***[126].4.将上述Sinc-θ格式与Sinc-多步格式应用于求解Allen-Cahn方程.这是文献中第一次通过FBSDEs研究一般形式的Allen-Cahn方程的全离散Sinc格式.该方法最大特点是无需空间插值,也可避免对平流项的迎风处理.我们对所提Sinc格式进行了严格的稳定性分析和误差估计,并证明了 Sinc-θ格式满足离散最大界原理.部分研究成果已完成待发表[127].论文框架本论文共有六章.第一章引言简单介绍FBSDEs及其数值方法的相关研究背景、发展现状及本文的研究动机,梳理全文脉络和结构.第二章预备知识介绍本文需要的一些基础知识.引入正倒向随机微分方程理论中的一些定义、性质和重要结论,如It(?)公式、Feynman-Kac公式等.然后回顾了文献中已有的两大类BSDEs的时间半

关键词：正倒向随机微分方程 Sinc逼近条件数学期望全离散格式 Allen-Cahn方程误差估计数值模拟

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有限体积法定价欧式跳扩散期权模型

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西南师范大学学报（自然科学版） 2018年第11期43卷 1-7页

作者：甘小艇楚雄师范学院数学与统计学院云南楚雄675000

考虑有限体积法求解Kou跳扩散期权定价模型.基于线性有限元空间,构造了向后Euler和Crank-Nicolson两种全离散有限体积格式,并结合简单高效的递推公式逼近方程中的积分项.理论分析表明所得的离散矩阵为M-矩阵.数值实验验证了方法的有效性.

关键词：有限体积法跳扩散期权模型全离散格式

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Burgers-Fisher方程初边值问题的Chebyshev-Legendre谱方法

引用

黑龙江大学自然科学学报 2016年第4期33卷 421-428,561页

作者：郭金珠吕淑娟北京航空航天大学数学与系统科学学院北京100191

用Chebyshev-Legendre谱方法对Burgers-Fisher方程的初边值问题构造全离散线性逼近格式,通过直接对近似解与精确解之间的误差估计,证明离散格式的收敛性,得到在L2范数和H1范数意义下误差的最优阶估计。数值算例验证了算法的有效性和结... 详细信息

用Chebyshev-Legendre谱方法对Burgers-Fisher方程的初边值问题构造全离散线性逼近格式,通过直接对近似解与精确解之间的误差估计,证明离散格式的收敛性,得到在L2范数和H1范数意义下误差的最优阶估计。数值算例验证了算法的有效性和结果的正确性。

关键词： Burgers-Fisher方程 Chebyshev-Legendre谱方法全离散格式收敛性

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