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四川大学学报(自然科学版) 2025年第1期62卷 45-51页

作者：范万芮伟国洪晓春重庆师范大学数学科学学院重庆401331 云南财经大学统计与数学学院昆明650221

与整数阶非线性偏微分方程相比,非线性分数阶偏微分方程的求解问题更加困难.本文利用半固定式变量分离法结合平面动力系统的相图法研究了时间分数阶KdV方程的精确解及其动力学行为.在特殊参数条件下,本文获得了方程的各类精确解,讨论了... 详细信息

与整数阶非线性偏微分方程相比,非线性分数阶偏微分方程的求解问题更加困难.本文利用半固定式变量分离法结合平面动力系统的相图法研究了时间分数阶KdV方程的精确解及其动力学行为.在特殊参数条件下,本文获得了方程的各类精确解,讨论了部分代表性解的性质,并绘制了解的图像,以便更好地理解方程的动力学行为.

关键词：时间分数阶KdV方程半固定式变量分离法相图精确解

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时间分数阶DP方程的精确解及其动力学性质研究

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红河学院学报 2025年第2期23卷 126-131页

作者：邹静何应辉张宏杰重庆师范大学数学科学学院重庆401331 红河学院数学与统计学院云南蒙自661199 重庆工贸职业技术学院基础教育学院重庆408000

在分数阶微分方程研究领域,要想获得非线性分数阶偏微分方程的精确解是一件十分困难的事情.利用半固定式变量分离法与平面分支法相结合的组合算法,分别在两种经典的分数阶算子下,系统地研究了时间分数阶Degasperis-Procesi方程的精确解... 详细信息

在分数阶微分方程研究领域,要想获得非线性分数阶偏微分方程的精确解是一件十分困难的事情.利用半固定式变量分离法与平面分支法相结合的组合算法,分别在两种经典的分数阶算子下,系统地研究了时间分数阶Degasperis-Procesi方程的精确解,在某些参数条件下获得了这类方程的各种精确解,进一步讨论了解的动力学性质,通过解的三维坐标演化图直观地展示了一些解的动力学行为.

关键词：时间分数阶 Degasperis-Procesi方程半固定式变量分离法平面分支法

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时间分数阶高次反应—扩散方程的精确解及其动力学性质

时间分数阶高次反应—扩散方程的精确解及其动力学性质

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作者：黎超玲重庆师范大学

学位级别：硕士

随着科学的发展,分数阶微分模型的应用越来越广泛,与整数阶微分模型相比,分数阶微分模型比较独特,在刻画和描述某些复杂的非线性问题方面有着整数阶微分模型无可替代的一些优点,特别是对于那些具有记忆现象、反常扩散现象、黏弹性现象... 详细信息

随着科学的发展,分数阶微分模型的应用越来越广泛,与整数阶微分模型相比,分数阶微分模型比较独特,在刻画和描述某些复杂的非线性问题方面有着整数阶微分模型无可替代的一些优点,特别是对于那些具有记忆现象、反常扩散现象、黏弹性现象和幂律现象等方面的模型而言,分数阶微分模型就可以完美地刻画和描述这些奇特的现象,故深入地研究分数阶微分方程的求解方法就显得非常有必要。在此背景下,本文介绍了一种将半固定式变量分离法与动力系统相结合的新方法,在Riemann-Liouville型分数阶导数的定义下,研究了一个时间分数阶高次反应-扩散方程的精确解和动力学性质。本文研究的主要内容分为三个部分:在第一部分中,以半固定式变量分离法与齐次平衡原理相结合的方法为基础,再结合动力系统相关理论,设计出了一种专门针对时间分数阶非线性偏微分方程求解的新方法;在第二部分中,利用这种新方法讨论了非线性分数阶反应-扩散模型的解的存在性和动力学性质;在第三部分中,在一些特定参数条件下,通过对轨道积分的方法,获得了该时间分数阶非线性反应-扩散模型的各种精确解。然后再针对部分具有代表性的解,讨论它们的周期性、有界性、衰减性等动力学性质,对这方面做出具体分析,最终给出相应的结论。通过数学软件Maple,针对部分精确解进行数值模拟,获得了部分精确解随时间和空间演化的三维肖像图,进而揭示了模型所蕴含的内在规律性,直观地展示了系统所赋予的动力学现象和反应与扩散的变化规律。本文的创新点主要体现在:一方面扩展和修改了文献中的方法,增加了动力系统的分析功能;另一方面,把所研究方程的幂次方由原文献中的二次方推广到了2n次方,增加了求解的难度,本文突破了这个难点,并在研究中发现了大量不同于以往文献中出现过的结果;再者就是所采用的变量分离法也与经典的变量分离法有所不同,本文的变量分离法是把时间部分的函数固定成一些特殊的函数,如Mittag-Leffler函数,幂函数等,以减少运算量。

关键词：分数阶微分方程半固定式变量分离法动力系统法时间分数阶反应-扩散方程解的存在性和动力学性质

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一类分数阶热传导方程和波方程的精确解及其动力学现象

一类分数阶热传导方程和波方程的精确解及其动力学现象

引用

作者：李文重庆师范大学

学位级别：硕士

近年来,分数阶偏微分方程模型出现在材料力学、流体力学、生物学、物理学以及能量交换等多个学科和领域之中,并得到了广泛的应用,许多关于分数阶微分方程的研究工作也得到了蓬勃发展。由于分数阶微分算子具有独特的性质,比如在描述对象... 详细信息

近年来,分数阶偏微分方程模型出现在材料力学、流体力学、生物学、物理学以及能量交换等多个学科和领域之中,并得到了广泛的应用,许多关于分数阶微分方程的研究工作也得到了蓬勃发展。由于分数阶微分算子具有独特的性质,比如在描述对象的“记忆性”和“遗传性”以及在对粘弹性问题的刻画方面,它往往优于整数阶微分算子,致使运用分数阶微分模型去研究此类复杂问题引起了科研人员的广泛关注,其中分数阶微分方程的求解方法的研究以及解的动力学性质的研究工作也越来越受到数学物理方面的研究人员的重视。在此背景下,本文利用一种半固定式的变量分离法研究了分数阶热传导方程、膜振动方程以及薛定谔方程的精确解及其动力学现象。具体内容如下:在第一部份中,本文研究了2+1维时间分数阶热传导方程的精确解,在Bessel方程的解及其相关性质的帮助下,获得了该模型的三类精确解的一般表达式。在不同的初值条件和边界条件下,给出了相应的特解的计算办法,然后通过解的三维坐标图像直观地展示了解随时间变量和空间变量演化的物理学现象,从而揭示了模型所蕴含内在规律性,总结出了该模型在热传导过程中温度发生变化的规律。在第二部份中,通过半固定的变量分离法,本节研究了2+1维时间分数阶膜振动方程的精确解,得到了该方程精确解的具体表达式,并进一步解释了该模型所蕴含的物理现象。研究发现其解是关于时间变量t为Mittag-Leffler函数,而这些Mittag-Leffler函数在特定条件下都具有随着时间的增加而衰减性质,因此所有的解均具有随着时间的增加而衰减的性质,这表明薄膜的振动会随着时间的延长而衰减,最终趋于平衡位置。在一定初值条件下,本文给出了解的表达式以及其在某些参数条件下的动力学图像,直观地展示了解随时间变量和空间变量演化的物理学现象,从而进一步解释了该模型所蕴含的物理现象。在第三部分中,利用半固定式变量分离法,研究了Caputo型分数阶薛定谔方程。在势函数V(x,t)=mωx下,将分数阶薛定谔方程转化为二阶线性常微分方程,然后借助于二阶变系数微分方程的相关性质,获得了Caputo型分数阶薛定谔方程的精确解的表达式。

关键词：时间分数阶微分方程 Mittag-Leffler函数半固定式变量分离法精确解

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用动力系统方法研究一类时间分数阶扩散方程的精确解

引用

应用数学进展 2023年第6期12卷 2896-2903页

作者：黎超玲重庆师范大学数学科学学院重庆

随着时代的发展,分数阶微分模型的应用越来越广泛,故对其研究非常有必要。本文在Riemann-Liouville分数阶导数的定义下利用半固定式变量分离法与动力系统理论相结合的方法,研究了一类时间分数阶扩散方程的精确解,获得了方程的一系列精确... 详细信息

随着时代的发展,分数阶微分模型的应用越来越广泛,故对其研究非常有必要。本文在Riemann-Liouville分数阶导数的定义下利用半固定式变量分离法与动力系统理论相结合的方法,研究了一类时间分数阶扩散方程的精确解,获得了方程的一系列精确解,通过解的坐标演化图直观地展示了在不同参数条件下的扩散现象。

关键词：时间分数阶扩散方程 Riemann-Liouville分数阶导数半固定式变量分离法动力系统方法精确解

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一个时间分数阶扩散方程的精确解和动力学性质

引用

红河学院学报 2023年第5期21卷 133-137页

作者：黎超玲赵云梅重庆师范大学数学科学学院重庆401331 红河学院数学与统计学院云南蒙自661199

众所周知,相比于整数阶非线性偏微分方程的求解问题,分数阶非线性偏微分的精确求解问题是一个极为困难的问题.文章利用半固定式变量分离方法与动力系统方法相结合的方式,研究了一个时间分数阶扩散方程的精确解及其动力学性质.获得了比... 详细信息

众所周知,相比于整数阶非线性偏微分方程的求解问题,分数阶非线性偏微分的精确求解问题是一个极为困难的问题.文章利用半固定式变量分离方法与动力系统方法相结合的方式,研究了一个时间分数阶扩散方程的精确解及其动力学性质.获得了比原始文献中得到的精确解更加丰富的内容,并讨论了部分新精确解的动力学性质,通过解的坐标演化图直观地展示了在不同参数条件下的扩散现象.

关键词：时间分数阶扩散方程 Riemann-Liouville分数阶导数半固定式变量分离法动力系统方法精确解

来源：评论

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