试验是人们认识世界、探索世界及改造世界的一种重要手段,如何有效的安排试验,提高试验的效率显得尤为重要.试验设计是统计学的重要分支之一,它是以概率论数理统计、线性代数为理论基础,科学地设计试验方案,正确合理地分析试验结果,以较少的试验工作量和较低的试验成本获取足够可靠、有用的信息.试验设计在工农业生产、生物医药、航空航天等领域得到了广泛的应用,对社会的发展起到了巨大的推动作用.当试验所涉及的因子个数及水平数比较多时,实施完全因析设计所需的花费往往会远远超过人们的承受范围,因此从试验的次数及成本方面来考虑,部分因析设计无疑是一个比较好的选择.然而,使用部分因析设计时会产生因子效应之间别名,而别名的因子效应在数据分析时不能有效地进行区分.利用折叠反转技术来进行跟随试验是解除因子效应别名的一种重要手段,许多专家学者对折叠反转这种方法进行了深入研究,发现将一个设计进行折叠反转后获得的设计与初始设计组合在一起所形成的设计具有很好的结构和统计性质,因此折叠反转技术在设计的构造中得到广泛的应用.均匀设计也是一种重要的部分因析设计,与其它部分因析设计相比,均匀设计给试验者更多的选择,从而有可能用较少的试验次数来获得期望的结果.均匀设计自提出以来被广泛应用于各个领域并获得显著的经济效益和社会效益.均匀设计是通过均匀设计表安排试验的,因此研究均匀设计表的构造具有重要意义.Sudoku设计源自Sudoku拼图游戏,由于其结构的特殊性而受到广泛的关注.Li,Li and Ou(2014)研究了基于Sudoku设计构造对称的均匀设计.本文将Li,Li and Ou(2014)的结果进行了推广,在广义离散偏差下讨论基于Sudoku设计、折叠反转和镜面映射技术来构造一类非对称均匀设计问题.我们给出了一类非对称设计广义离散偏差的一个新的下界,并以该下界为基准衡量所构造设计的均匀性,同时给出了构造这类非对称均匀设计的一般算法和相关性质.在试验的初期阶段,考虑花费的有效性,试验者往往用无重复的试验识别某些显著因子,但这对统计推断而言是一个挑战,因为无重复试验的设计不能估计试验的误差.本文借助示性函数工具,基于四分之一折叠反转,讨论了构造具有灵活的部分重复试验的二水平部分因析设计问题,研究了当初始设计的分辨度为Ⅲ.a(或Ⅳ.a),相应构造出的具有部分重复的设计的分辨度不低于Ⅲ(或Ⅳ)的充分必要条件和重复的试验次数.为了便于实际应用,当初始设计的试验次数为12,16,20和24时,本文也给出了相应构造出的具有灵活的部分重复试验的设计的最优方案.Doubling技术是构造二水平因析设计的一种简单而有效的方法,利用这种技术我们可以通过较少试验次数和因子数的设计来构造具有较多试验次数和因子数的且具有较好性质的设计,如正交主效应设计、分辨度高的设计.为了构造具有较多试验次数和因子数的三水平设计,张明辉(2016)以水平之间的置换作为折叠反转方式将二水平Double设计推广到三水平Triple设计,并以示性函数为工具,讨论了Triple设计的性质.本文讨论了在E(fNOD)准则、最小矩混杂准则(MMA)、广义最小低阶混杂准则(GMA)、B准则等常用设计筛选准则下,Triple设计与初始设计的解析联系以及Triple设计的均匀性.同时将三水平Triple设计推广到四水平Quadruple设计,给出了 Quadruple设计的结构,讨论了在常用设计筛选准则下Quadruple设计与初始设计的联系以及Quadruple设计的均匀性.编码理论在试验设计领域应用非常广泛,许多文献讨论了基于编码理论构造最优设计.特别是近几年来,一些学者利用二元和四元编码之间的映射构造具有优良性质的设计.我们注意到基于二元和四元编码之间的映射构造的设计都是在分辨度准则,混杂准则及投影准则下衡量的,而从均匀性的角度讨论的比较少.如何将二元和四元编码之间的映射和折叠反转方法结合起来是一个值得研究的问题.本文关于编码映射的应用主要包括以下三个方面:第一,基于二元和四元编码间的两种映射,讨论了四水平设计与其对应的二水平设计之间的均匀性关系,从而推广和完善了Chatterjee et al.(2017)的结果,同时分别获得四水平设计和二水平设计在可卷L2-偏差下改进的下界.第二,首次给出四水平Double设计的定义,讨论四水平Double设计与其初始设计,二水平Double设计与其初始设计在可卷L2-偏差下的均匀性关系,并将第一种映射应用到四水平Double设计中,讨论了四水平设计和其对应的二水平设计以及它们的Double设计之间的均匀性的关系.最后,将四水平Double设计推广到二四混水平Double设计中并结合第一种映射,讨论了二四混水平设计和其对应的二水平设计以及它们的Double设计之间的均匀性的关系.
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