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1 篇 学位论文

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1 篇 工学
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1 篇 管理学
- 1 篇 公共管理

主题

1 篇 模态反问题
1 篇 adomian分解法
1 篇 奇异常微分方程
1 篇 振动定性性质
1 篇 振荡矩阵/振荡核

机构

1 篇 北京大学

作者

1 篇 郑子君

语言

1 篇 中文

检索条件"主题词=振动定性性质"

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详细简洁

排序：

杆、欧拉梁的振动定性性质及其模态反问题

杆、欧拉梁的振动定性性质及其模态反问题

引用

作者：郑子君北京大学

学位级别：博士

本文在经典应用数学与力学的框架下研究一维弹性体线性振动的一般性质及其振动的模态反问题。从数学上看，弹性体的线性振动问题是微分方程的特征值问题，在计算机出现前，数学家们对该问题解的定性性质做了很多重要的研究，给出了许多... 详细信息

本文在经典应用数学与力学的框架下研究一维弹性体线性振动的一般性质及其振动的模态反问题。从数学上看，弹性体的线性振动问题是微分方程的特征值问题，在计算机出现前，数学家们对该问题解的定性性质做了很多重要的研究，给出了许多美妙的结论。今天，各种离散化数值方法尤其是有限元方法得到广泛应用，特征问题解的定性性质的研究又被赋予了新的任务:离散模型是否、以何种形式继承连续模型的振动定性性质。对经典微分方程及其离散数值模型的特征解的定性表现的研究，不仅可以加强我们对经典模型的重新认识，也可以加深我们对离散数值模型、数值计算结果的理解，同时还是振动反问题求解的重要线索。弹性体的模态反问题和其他数学物理中的反问题一样，面临着奇异性、稳定性、适定性的难题。尤其是对于梁、板这样的四阶系统，其模态反问题涉及到二阶奇异微分方程，通常都是采用离散化的方法来求解的。另一方面，近二三十年来，采用分析方法对二阶奇异微分方程进行的研究取得了很大进展，这些研究的成果已经应用于天体物理、核物理、流体力学等学科，但是在弹性体的模态反问题方面还未见其应用。\n 本文在进一步研究杆、欧拉梁系统的振动定性性质与振荡矩阵/振荡核之间的关系的基础上，讨论各种离散模型对连续体振荡性质的继承情况;并利用相关结论，讨论两类连续梁的模态反问题的求解。主要内容如下:\n 扩展了振荡矩阵/振荡核与一维弹性体的振荡性质的关系，完备了它们之间的关联。一维弹性体的振荡性质是其固有振动的重要定性性质，可通过振荡矩阵/振荡核理论来统一证明。该理论指出连续力学系统的格林函数是振荡核，等价于一个静力学性质（本文称为静力振荡性质），且是该系统对于任意质量均具有振荡性质的充分条件;而本文则将静力振荡性质推广到离散模型中，并在离散和连续的情况下统一地建立起了振荡矩阵/振荡核、静力振荡性质、振荡性质三者间的等价关系。\n 在本文关于振荡性质和静力振荡性质的等价性的研究基础上，讨论杆、欧拉梁系统的不同离散模型对振荡性质的继承情况。文献中讨论该问题时采用的思路是证明刚度矩阵是振荡矩阵，该方法只适用于较简单的有限差分和有限元模型。而本文讨论模型的静力振荡性质，避免了对离散模型的刚度矩阵进行分解，因而可用于讨论较复杂的模型。利用此思路证明了单跨的力法有限元梁恒满足振荡性质，而位移型有限元梁，铁木辛柯梁以及高阶有限元梁有条件地满足该性质，并将上述结论成立的边界条件推广到多支座支撑的情形。此外，本文还指出了看似复杂的振荡性质，本质仅仅是杆、梁系统简单的变形特征的推论:杆受压时变短;简支梁的一端受弯矩时两端转角异号。这不仅使得对振荡性质的讨论从整体变为局部，降低了讨论难度，更说明了振荡性质是合理的杆、梁离散模型应当继承的重要性质。\n 讨论从一个振型重构弯曲刚度与线密度成幂函数关系的连续梁的模态反问题。该问题等同于一个二阶奇异非线性微分方程的特征问题，文献中通常采用离散数值方法求解。本文则直接讨论该微分方程:将梁振动的定性性质引入其模态反问题的讨论中，指出了该微分方程奇点的存在性以及重数只与梁系统的边条件和振型阶数有关;结合打靶法和在Adomian分解法对该微分方程进行求解，并证明了解在方程奇点附近的收敛性和唯一性;进而证明了对于弯曲刚度与线密度成幂函数关系的连续梁，已知一个振型即可在等价的意义下唯一确定梁的参数。算例表明，本文提出的求解方案是正确的，且具有较高的效率。\n 讨论了弯曲刚度和线密度各自独立的连续梁的模态反问题。文献中指出对于离散梁通常情况下两组模态可以在等价的意义下唯一确定其弯曲刚度和质量分布，只有极少数情况需要第三组模态，并给出了求解该反问题的代数方法。但是文献中的方法和结论并不能直接推广到连续梁情形，因此需要几组模态才能唯一确定连续梁尚无定论。本文利用振荡性质的相关结论和二阶常微分方程的理论，从奇异微分方程的角度考察了这个问题:按奇点处方程的解的性质将奇点分为了两类;给出了在奇点附近求解该方程的方案;指出了当两类奇点在梁的区间内交错排列时，两组模态即可在等价的意义下唯一确定地梁的参数;而当其中一类奇点在排列中连续出现时，这两组模态一定不能唯一地确定梁的参数。文中举例说明了这两种情况都是有可能出现的，从而证明了两组模态有可能但不总是可以唯一地确定梁的参数。此外，算例表明本文的求解方案是可行、高效的。

关键词：振荡矩阵/振荡核振动定性性质模态反问题奇异常微分方程 Adomian分解法

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