检索结果-内蒙古大学图书馆

作者：王梦君南京信息工程大学

学位级别：硕士

时间分数阶扩散方程是指时间导数是分数阶的微分方程,这种方程在描述非局部耗散现象、介质中的非线性传输等问题具有重要的作用.与传统的整数阶微分方程相比,分数阶扩散方程能够更加准确地刻画系统的非局部性质和长程记忆效应,描述一些... 详细信息

时间分数阶扩散方程是指时间导数是分数阶的微分方程,这种方程在描述非局部耗散现象、介质中的非线性传输等问题具有重要的作用.与传统的整数阶微分方程相比,分数阶扩散方程能够更加准确地刻画系统的非局部性质和长程记忆效应,描述一些复杂的扩散现象,理解非线性传输和扩散过程中的非局部行为.因此,研究时间分数阶扩散方程具有重要的物理意义.本文研究三类非线性时间分数阶扩散方程解的存在性及爆破问题. 第1章阐释研究背景及意义,研究现状及本文的主要工作,并给出相关的基础知识. 第2章研究在全空间内一类带有非线性记忆项的时间分数阶扩散方程.基于解算子的性质,用压缩映像原理证明解的局部存在性,通过检验函数法得到了方程的解在有限时间内爆破,说明了非齐次项对解的爆破有一定的影响,这与=0时结论不同. 第3章研究在有界区域内一类非线性时间分数阶扩散-波方程在分数次空间内解的局部存在性、唯一性、对初值的连续依赖性及解的延拓.首先讨论解算子在分数次空间内的性质,在此基础上用不动点定理证明温和解局部存在性及解的延拓,最后研究了温和解与时间整数阶方程解之间的关系. 第4章研究在全空间内一类带有梯度项的时间分数阶扩散方程,考虑了当方程非线性项依赖于梯度项时方程温和解的局部存在唯一性以及爆破.通过建立解算子的估计,用压缩映像原理证明温和解的局部存在性. 第5章总结本文所做工作,并且对下一步的工作做了展望.

关键词：时间分数阶微分方程温和解局部存在爆破

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广义AKNS系统与时间分数阶微分方程新解

广义AKNS系统与时间分数阶微分方程新解

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作者：洪思宇渤海大学

学位级别：硕士

求解非线性偏微分方程无论在理论上还是在实际应用中都显得非常重要,经过众多学者的长期探索研究,孤子理论中已建立和发展起来很多求解非线性偏微分方程的行之有效的方法.反散射变换法是一个系统性的方法,并得到不断的发展和广泛应用.... 详细信息

求解非线性偏微分方程无论在理论上还是在实际应用中都显得非常重要,经过众多学者的长期探索研究,孤子理论中已建立和发展起来很多求解非线性偏微分方程的行之有效的方法.反散射变换法是一个系统性的方法,并得到不断的发展和广泛应用.反散射变换的核心工作是从与方程相联系的线性问题出发,将所求的位势归结为线性积分方程,其最大优点之一在于它可以基于给予适当的线性谱问题推导出一族等谱或非等谱非线性方程.分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法,其主要思想是将方程中含变量的项分离开来,从而将原方程拆分成多个更简单的易解方程.本文一方面研究如何利用变量分离法求解一个新的带有强迫项的时间分数偏微分方程在初边值条件下的精确解,另一方面研究如何运用反散射变换求解几个新的广义AKNS系统的精确解.本文的主要工作有:首先,通过分离变量法解决带有初边值条件的变系数非线性时间分数阶偏微分方程,从而得到一些新的精确解.然后利用两个算例表明分离变量法能够提供一种有效的算法来解决一些其他的非线性时间分数阶偏微分方程.其次,在反散射变换理论框架下,从广义AKNS谱问题及其广义时间演化方程出发,构造几个具有Lax可积性的新广义AKNS系统,然后基于对广义AKNS谱问题中散射数据时间的发展规律进行系统性分析,从中构造出这些广义AKNS系统的精确解,并在无反射势条件下由这些精确约化出n孤子解.此外,通过图像研究所获孤子解在传播中的动力学性质及解空间结构与奇点特征.

关键词：分离变量法反散射变换法时间分数阶微分方程广义AKNS系统 Lax可积性孤子解

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微分求积法在一类时间分数阶微分方程中的应用

微分求积法在一类时间分数阶微分方程中的应用

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作者：张太莲华南理工大学

学位级别：硕士

分数阶微分方程具有良好的全局部记忆性和遗传性,相比较于整数阶微分方程,分数阶微分方程能更好地模拟一些动力系统过程和自然物理现象,因而在流体力学、材料力学、金融学、工程问题和自然科学等问题中的应用越来越广泛。分数阶微分方... 详细信息

分数阶微分方程具有良好的全局部记忆性和遗传性,相比较于整数阶微分方程,分数阶微分方程能更好地模拟一些动力系统过程和自然物理现象,因而在流体力学、材料力学、金融学、工程问题和自然科学等问题中的应用越来越广泛。分数阶微分方程的解析解大多是依靠复杂的变换和特殊函数求得,这种结果是难于近似计算的。于是越来越多的相关学者关注分数阶偏微分程的数值计算问题的研究。其数值解法有很多,但他们大多占空间大、计算量大,难于用在实际问题中。微分求积法却具有克服此类问题的优点如：方法概念简单、计算量小、收敛速度快和精度高等,是一种不断受到重视的数值解法。目前几乎没有学者将微分求积法应用到分数阶微分方程中。本文要充分利用微分求积法的优点,研究微分求积法在一类时间分数阶偏微分方程中的应用。本文主要分四大部分。第一部分绪论主要阐述研究问题的来源和意义以及研究目标,并给出研究过程中所需的基本知识,如：分数阶导数的定义种类、分数阶微积分的性质。第二部分对微分求积法在一类时间分数阶偏微分方程中进行应用分析,首先将微分求积法和时间分数阶微积分的多种数值解法(如：Gs(p)算法、R2算法和L算法)组合,给出求解分数阶偏微分方程的数值解法；然后表明各种方法组合都能达到无条件稳定/无条件收敛,得到方法的收敛阶Gs(p)算法为1阶、R2算法为2阶和L算法为2α阶；最后通过实例验证此类数值方法的收敛性和精确度,并分析微分求积法的优点在方法结合中得到完好保留。第三部分把此类方法推广到其他方程上,本文讨论了三种时间分数阶偏微分方程：电报方程、扩散方程、二维变系数类热传导方程。第四部分对Gs(p)算法进行改进,通过在让p取特殊值和特殊点上离散的方式将收敛阶提高到2阶,并提高精确度。本文的研究最后得到改进的方法是最优方法,收敛阶高的同时精确度高。本文还提出了后续研究的方向和有待完善的问题。

关键词：时间分数阶微分方程扩散方程类热传导方程微分求积法 G_(s(p))算法 R2算法

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几类时间分数阶微分方程的数值方法

几类时间分数阶微分方程的数值方法

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作者：岑达康广东工业大学

学位级别：硕士

近年,因在模拟具有记忆性和遗传性现象上的广泛应用,分数阶微积分受到研究者们的关注.分数阶微分方程的数值解法也成为了热点课题之一.分数阶微分算子通常含有弱奇异性的核函数.数值方法的构造与分析需考虑奇异性的影响.另一方面,因为... 详细信息

近年,因在模拟具有记忆性和遗传性现象上的广泛应用,分数阶微积分受到研究者们的关注.分数阶微分方程的数值解法也成为了热点课题之一.分数阶微分算子通常含有弱奇异性的核函数.数值方法的构造与分析需考虑奇异性的影响.另一方面,因为分数阶微分方程是全局相关的,所以它的计算复杂度高.快速稳定的计算方法也是重要的研究内容.基于以上两个方面,本文研究了四类分数阶模型的数值方法.全文分为五章.第一章介绍分数阶微积分的历史背景,分数阶微分方程数值解法的国内外研究现状,以及研究的四个模型.第二章研究多项时间分数阶空间高阶扩散方程.基于降阶方法,提出了快速紧差分格式.用能量方法证明了数值格式的唯一存在性,稳定性和收敛性.通过数值实验验证了理论估计结果和数值方法的有效性.第三章研究时间分数阶Kd V-Burgers方程.用2-1σ公式逼近Caputo分数阶导数,得到稳定的二阶时间精度差分格式.为了提高空间精度,基于加权算子,建立了二阶空间精度差分格式.理论估计精度与数值实验结果一致.第四章研究二维半线性分数阶慢扩散方程.首先,建立了时间空间二阶精度的非线性差分格式.为了提高求解效率,采用两网格技术,建立了粗网格非线性系统与细网格线性系统.基于能量方法,得到数值方法的稳定性和收敛性结果.数值结果说明了两网格差分格式的有效性.第五章研究分数阶捕食者-食饵模型.通过积分变换技术,得到一对耦合的积分微分方程.基于变分原理,建立变分迭代格式,并证明了格式的收敛性.最后,数值实验结果验证了数值格式的有效性.

关键词：时间分数阶微分方程有限差分法变分迭代法

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时间分数阶偏微分方程的基本解

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莆田学院学报 2005年第5期12卷 11-13页

作者：陈春华卢旋珠福州大学数学与计算机科学学院福建福州350002

利用傅立叶变换和拉普拉斯变换推导出空间全平面内的时间分数阶偏微分方程的基本解(格林函数)。此基本解的表达式可通过适当的变形求出。该方法也可用于求解相应的整数阶偏微分方程基本解。

关键词：时间分数阶微分方程 Caputo分数阶导数傅立叶变换拉普拉斯变换

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分数阶微分方程中的径向基函数无网格方法

分数阶微分方程中的径向基函数无网格方法

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作者：郑远明电子科技大学

学位级别：硕士

分数阶微分方程被广泛应用于具有记忆性质、遗传和路径依赖的物理过程和材料特性等工程科学领域。本文研究Caputo意义下的时间分数阶微分方程和Riemann-Liouville意义下的空间分数阶微分方程的径向基函数无网格方法。对Caputo意义下的... 详细信息

分数阶微分方程被广泛应用于具有记忆性质、遗传和路径依赖的物理过程和材料特性等工程科学领域。本文研究Caputo意义下的时间分数阶微分方程和Riemann-Liouville意义下的空间分数阶微分方程的径向基函数无网格方法。对Caputo意义下的时间分数阶微分方程，本文结合差分方法得到关于时间项的分数阶微分的一个逼近形式，并使用径向基函数插值处理空间项，联立初始条件和边界条件得到了一个离散计算格式。通过离散Fourier变换与Gerschgorin定理证明该格式无条件稳定，以Taylor展开和径向基函数理论为基础得到其局部截断误差和空间步长、时间步长以及径向核的关系。对Riemann-Liouville意义下的空间分数阶微分方程，我们使用径向基函数对空间项的分数阶微分插值，并引入Gauss-Legendre数值求积公式得到分数阶微分的一个逼近公式，联立初始条件与边界条件就得到了一个离散迭代格式。关于稳定性与收敛性，我们得到了当径向核的参数和时间、空间步长满足一定条件时格式稳定，同时给出其局部截断误差。为了验证理论分析，我们计算了分数阶常微分方程，带Dirichlet、Neumann边界条件的时间分数阶微分方程和带Dirichlet边界条件的空间分数阶微分方程等几个数值例子。

关键词：径向基函数时间分数阶微分方程空间分数阶微分方程无网格配置法

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求解两类分数阶微分方程的稳定的数值方法

求解两类分数阶微分方程的稳定的数值方法

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作者：郭凯瑞哈尔滨工业大学

学位级别：硕士

近年来由于在工程、化学、经济、物理等各个领域的频繁出现,以及在建模中表现出的精确性,分数阶计算引起了广大学者们的兴趣。许多研究表明,与传统的整数阶微分方程相比,分数阶微分方程能更充分、准确地描述许多自然现象。然而很难得到... 详细信息

近年来由于在工程、化学、经济、物理等各个领域的频繁出现,以及在建模中表现出的精确性,分数阶计算引起了广大学者们的兴趣。许多研究表明,与传统的整数阶微分方程相比,分数阶微分方程能更充分、准确地描述许多自然现象。然而很难得到分数阶微分方程的精确解,因此获得求解分数阶微分方程的有效数值解法已成为分数阶计算的核心问题之一。已经有很多种数值方法被用于求解分数阶微分方程,例如紧凑有限差分法、切比雪夫多项式和有限元方法。本文提出了一种新的稳定数值方法用于求解在工程中有广泛应用的两类分数阶微分方程。本文的第一部分研究一类带有非线性项的时间分数阶反应扩散方程。方程具有时间分数阶α阶（1＜α＜2）Caputo导数。首先在一定的假设下证明了解的唯一性并且构造了解空间。其次注意到牛顿法的初值选择问题已经得到了解决,于是本文使用牛顿法将原始非线性方程转换为一列线性方程。然后采用改进的微分求积法离散化方程并且建立了严格的理论获得了方程组的ε近似解并证明了所用方法的稳定性。最后通过与紧凑有限差分法相比,数值算例说明本文的结果更好。本文的第二部分建立了一种新的改进的最小残量法来求解时间分数阶电报方程,该方程是由传统的电报方程将整数阶导数替换成分数阶导数得到的。方程具有时间分数阶α（1＜α＜2）阶Caputo导数。首先证明了方程在某些假设下有唯一解并且构造了解空间。其次同时齐次化两个初始条件和两个边界条件。再次将时间区间离散化,并且使用分段抛物插值化简分数阶积分和整数阶积分,这种方法将原始方程转化为空间域的二阶常微分方程组。然后采用ε近似解——一种改进的最小残量法求解方程组并且分析了该方法的稳定性。最后,数值算例说明了本文提出的方法的有效性并且验证了相应的理论。

关键词：时间分数阶微分方程 ε近似解稳定性改进的微分求积法分段抛物插值

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一类分数阶热传导方程和波方程的精确解及其动力学现象

一类分数阶热传导方程和波方程的精确解及其动力学现象

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作者：李文重庆师范大学

学位级别：硕士

近年来,分数阶偏微分方程模型出现在材料力学、流体力学、生物学、物理学以及能量交换等多个学科和领域之中,并得到了广泛的应用,许多关于分数阶微分方程的研究工作也得到了蓬勃发展。由于分数阶微分算子具有独特的性质,比如在描述对象... 详细信息

近年来,分数阶偏微分方程模型出现在材料力学、流体力学、生物学、物理学以及能量交换等多个学科和领域之中,并得到了广泛的应用,许多关于分数阶微分方程的研究工作也得到了蓬勃发展。由于分数阶微分算子具有独特的性质,比如在描述对象的“记忆性”和“遗传性”以及在对粘弹性问题的刻画方面,它往往优于整数阶微分算子,致使运用分数阶微分模型去研究此类复杂问题引起了科研人员的广泛关注,其中分数阶微分方程的求解方法的研究以及解的动力学性质的研究工作也越来越受到数学物理方面的研究人员的重视。在此背景下,本文利用一种半固定式的变量分离法研究了分数阶热传导方程、膜振动方程以及薛定谔方程的精确解及其动力学现象。具体内容如下:在第一部份中,本文研究了2+1维时间分数阶热传导方程的精确解,在Bessel方程的解及其相关性质的帮助下,获得了该模型的三类精确解的一般表达式。在不同的初值条件和边界条件下,给出了相应的特解的计算办法,然后通过解的三维坐标图像直观地展示了解随时间变量和空间变量演化的物理学现象,从而揭示了模型所蕴含内在规律性,总结出了该模型在热传导过程中温度发生变化的规律。在第二部份中,通过半固定的变量分离法,本节研究了2+1维时间分数阶膜振动方程的精确解,得到了该方程精确解的具体表达式,并进一步解释了该模型所蕴含的物理现象。研究发现其解是关于时间变量t为Mittag-Leffler函数,而这些Mittag-Leffler函数在特定条件下都具有随着时间的增加而衰减性质,因此所有的解均具有随着时间的增加而衰减的性质,这表明薄膜的振动会随着时间的延长而衰减,最终趋于平衡位置。在一定初值条件下,本文给出了解的表达式以及其在某些参数条件下的动力学图像,直观地展示了解随时间变量和空间变量演化的物理学现象,从而进一步解释了该模型所蕴含的物理现象。在第三部分中,利用半固定式变量分离法,研究了Caputo型分数阶薛定谔方程。在势函数V(x,t)=mωx下,将分数阶薛定谔方程转化为二阶线性常微分方程,然后借助于二阶变系数微分方程的相关性质,获得了Caputo型分数阶薛定谔方程的精确解的表达式。

关键词：时间分数阶微分方程 Mittag-Leffler函数半固定式变量分离法精确解

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(1+1)维具时间分数阶方程的精确行波解

(1+1)维具时间分数阶方程的精确行波解

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作者：张练贵州民族大学

学位级别：硕士

分数阶偏微分方程有着极好的应用背景且在解决实际问题上起着至关重要的作用,对其解的研究能很好地帮助人们解释存在客观规律的自然现象.本文主要利用改进的辅助方程法、扩展的辅助方程映射法、F-展开法和广义指数有理函数法对具有时间... 详细信息

分数阶偏微分方程有着极好的应用背景且在解决实际问题上起着至关重要的作用,对其解的研究能很好地帮助人们解释存在客观规律的自然现象.本文主要利用改进的辅助方程法、扩展的辅助方程映射法、F-展开法和广义指数有理函数法对具有时间分数阶方程的精确行波解进行研究,具体以下列方程为例:1.（1+1）维具时间分数阶Klein-Gordon方程:其中β,γ是任意非零常数.2.（1+1）维具时间分数阶BBM-Burger方程:3.（1+1）维具时间分数阶Cahn-Allen方程:4.（1+1）维具时间分数阶Cahn-Hilliard方程:经过深入的研究,取得如下的研究成果:1.首先利用行波变换,将方程（Ⅰ）化为与之等价的二阶常微分方程.借助平面动力系统理论与方法,对与常微分方程等价的平面动力系统进行奇点分析,并且给出其轨线分布相图,得出方程（Ⅰ）存在四个钟状孤波解、四个扭状孤波解和无穷多周期行波解.利用改进的辅助方程法给出了方程（Ⅰ）的扭状孤波解和奇异行波解的精确表达式,最后给出部分解的动力学行为.2.首先利用行波变换和积分运算,将方程（Ⅱ）化为与之等价的常微分方程.借助平面动力系统理论与方法,对与常微分方程等价的平面动力系统进行奇点分析,并且给出其轨线分布相图,得出方程（Ⅱ）存在四个钟状孤波解和无穷多周期行波解.利用扩展的辅助方程映射法给出了方程（Ⅱ）的钟状孤波解和奇异行波解的精确表达式,最后给出部分解的动力学行为.3.首先利用行波变换,将方程（Ⅲ）化为与之等价的二阶常微分方程.采用F-展开法将求解常微分方程问题转化成求解代数方程组的问题,给出了方程（Ⅲ）的扭状孤波解和有界行波解的精确表达式.最后通过Maple软件绘制部分解的2D与3 D图,并给出其解的动力学行为.4.首先利用行波变换和积分运算,将方程（Ⅳ）化为与之等价的三阶常微分方程.采用广义指数有理函数法给出了方程（Ⅳ）的三角函数解、双曲函数解、指数函数解的精确表达式.最后通过Maple软件绘制部分解的2D与3D图,并给出其解的动力学行为.通过对这些具时间分数阶偏微分方程精确行波解的研究,给出了这些方程新的有界行波解的精确表达式,丰富了分数阶偏微分方程行波解的理论内容.

关键词：时间分数阶微分方程精确行波解平面动力系统理论与方法辅助方程法 F-展开法

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