检索结果-内蒙古大学图书馆

本文的主要研究内容为几类高阶偏微分方程基于广义数值流通量局部间断有限元方法的最优误差估计,其中所研究的方程为一维非线性Korteweg-de Vries型方程、二维非线性Schr(?)dinger方程和一维非线性对流扩散方程组。上述方程被广泛应用于流体力学、化学、生物学等众多领域,对于它们的研究具有重要的理论和应用价值。由于这几类方程的复杂性及解的特殊性,给方程的求解带来了一定的困难,因此研究其数值解法具有重要的意义。间断有限元方法是一种求解偏微分方程的具有高阶精度和高分辨率的数值方法。本文使用的局部间断有限元方法是在间断有限元方法的基础上发展起来的主要用于求解高阶偏微分方程的方法,相比于其他方法,其具有高阶精度和高分辨率等优势,被广泛应用于求解各种高阶偏微分方程。数值流通量的选取是局部间断有限元方法中至关重要的一步,本文使用的数值流通量为广义数值流通量,相比于经典的数值流通量,其能够改变权重值来调节格式的数值粘性,从而使得格式具有更大的灵活性。本文的研究内容分为以下几个方面: 首先,对于一维非线性Korteweg-de Vries型方程,证明了使用广义数值流通量局部间断有限元方法的最优误差估计。对于非线性对流项,选取的是广义Lax-Friedrichs数值流通量;对于色散项,选取的是广义交替和偏迎风数值流通量。由于方程中非线性项的存在,给最优初始误差估计及最优误差估计带来了较大的困难。构造了一种新的数值初始条件,同时证明了最优初始误差估计结果。在此基础上,结合关于二阶辅助变量修正的广义Gauss-Radau投影,原始变量和辅助变量的关系及Lax-Friedrichs数值流通量的全局性质等,证明了最优误差估计结果。其次,对于二维非线性Schr(?)dinger方程,研究了使用广义交替数值流通量局部间断有限元方法的稳定性及最优误差估计。通过建立两个能量方程,证明了原始变量及辅助变量的能量守恒性质。在证明最优误差估计之前,证明了最优初始误差估计结果。为了处理非线性项,作了两个合理的先验假设。结合广义Gauss-Radau投影的性质,同时借助一个新的能量方程和广义Gauss-Radau投影的性质,证明了最优误差估计结果。最后,对于一维非线性对流扩散方程组,证明了使用广义数值流通量局部间断有限元方法的最优误差估计。对于非线性对流项,选取的是偏迎风数值流通量;对于扩散项,选取的是广义交替数值流通量。针对对称正定和可对称化的流通量Jacobian矩阵,分别给出了最优误差估计结果的证明。对于对称正定的流通量Jacobian矩阵情形,借助局部特征分解和广义Gauss-Radau投影,证明了最优误差估计结果。当流通量Jacobian矩阵变为可对称化矩阵时,定义了一个关于辅助变量的新广义Gauss-Radau投影来消除非线性对流项产生的投影误差,并且选取了合适的检验函数,证明了最优误差估计结果,同时将结果扩展到了全非线性的情形。对于以上的研究分析,本文提供了相应的数值实验,且数值结果也证实了理论分析的结果,一是方法具有最优误差估计结果;二是可以选择合适的广义数值流通量的权重,使得数值格式具有较小的数值粘性,适用于长时间及大梯度解的情形的模拟。

关键词：局部间断有限元方法 Korteweg-de Vries型方程 Schr(?)dinger方程对流扩散方程组广义数值流通量最优误差估计

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非定常对流扩散问题差分-流线扩散法的线性三角元解的最优误差估计

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数学的实践与认识 2006年第9期36卷 338-346页

作者：金大永彭跃辉周俊明河北工业大学理学院天津300130 湖南邵阳学院数学系湖南邵阳422000

讨论了差分-流线扩散法(FDSD)求解线性对流占优扩散问题解的精度,利用插值后处理技术,使该格式解的空间精间达到最优.

关键词：流线扩散法线性三角元最优误差估计

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几类方程间断有限元方法的最优误差估计

几类方程间断有限元方法的最优误差估计

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作者：李佳哈尔滨工业大学

学位级别：博士

本文的主要研究内容为求解偏微分方程的间断有限元方法的最优误差估计性质。其中研究的方程为在多个领域有广泛应用的双曲守恒律方程和线性Korteweg-de Vries方程。本文中所研究的间断有限元方法是一类用于求解偏微分方程的高精度数值算... 详细信息

本文的主要研究内容为求解偏微分方程的间断有限元方法的最优误差估计性质。其中研究的方程为在多个领域有广泛应用的双曲守恒律方程和线性Korteweg-de Vries方程。本文中所研究的间断有限元方法是一类用于求解偏微分方程的高精度数值算法,其优点在于对光滑解问题所得的数值解能以任意高阶逼近真解,同时对于间断解问题所得的数值解能够准确且清晰地捕捉真解的间断。因其优秀性质,间断有限元方法已经被广泛应用于各领域的偏微分方程数值求解问题中。数值流通量是间断有限元方法数值格式中一个十分重要的组成部分,而本文中间断有限元方法所使用的流通量为一般数值流通量。相比于传统的迎风数值流通量而言,一般数值流通量能为间断有限元方法的数值格式提供更大的灵活性,并且使数值格式有可调整的数值粘性用以适应求解不同类型的偏微分方程。由于一般流通量包含单元边界点处两侧数值解的值,所以针对使用该流通量的间断有限元方法的收敛性研究比较复杂,这一点尤其体现在误差分析中所需要使用的投影上。通过构造合适的投影以及分析其相关性质,本文得到了间断有限元方法在求解各类方程时的最优误差估计性质。论文的研究内容主要包括以下几个方面:首先,针对变系数线性双曲方程提出了使用偏迎风数值流通量(即一般数值流通量)的间断有限元方法,并且研究了方法的最优误差估计性质。由于变系数方程的风向可变,所以传统的全局投影由于存在性不恒成立而不适合被用于误差估计的分析。基于变系数方程的特性,本文提出了分片全局投影。此投影在适当的单元边界处解除了全局耦合性质,所以其性质使该投影适合被用于分析此类问题。借助于分片全局投影的特性,最终可以分析间断有限元方法的最优误差估计性质。其次,针对一维标量非线性双曲守恒律方程提出了使用一般Local Lax-Friedrichs流通量的间断有限元方法,并且研究了方法的最优误差估计性质。在非线性方程情况下,误差估计中使用了大量的线性化技术来处理非线性项。由于一般Local Lax-Friedrichs流通量同时包括单元边界点两侧数值解的信息,所以误差方程中经过线性化处理的各项也更加复杂。此外,在分析中需要使用合理的先验假设条件,再配合以分片全局投影则最终可以分析方法的最优误差估计性质。最后,针对线性Korteweg-de Vries方程提出了使用一般流通量的局部间断有限元方法,并且研究了方法的最优误差估计性质。其中,数值格式中不同部分的一般流通量其参数互相独立,这有效地提高了数值格式的灵活性,但同时也增加了稳定性分析难度。此外,提出了一种新的数值初始条件构造方法,该数值初始条件不仅满足数值格式的要求,而且满足初始时刻的最优误差估计条件。结合稳定性分析的结论和数值初始条件,同时利用全局投影则可以分析局部间断有限元方法的最优误差估计性质。对于以上的各方面工作,本文给出了大量的数值实验。数值实验的结果与理论分析的结论相符合,证明了理论分析结论的有效性。

关键词：间断有限元方法局部间断有限元方法一般数值流通量最优误差估计双曲守恒律方程线性Korteweg-de Vries方程

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高维Klein-Gordon方程的能量守恒算法及其最优误差估计

高维Klein-Gordon方程的能量守恒算法及其最优误差估计

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作者：赵华为南京信息工程大学

学位级别：硕士

Klein-Gordon(KG)方程作为相对论量子力学和量子场论中用于描述自旋为零的粒子的最基本方程式之一,具有无可取代的实际背景和物理意义,本文运用有限差分法和有限元法对高维KG方程进行了数值研究,并建立了数值格式的最优误差估计.首先,... 详细信息

Klein-Gordon(KG)方程作为相对论量子力学和量子场论中用于描述自旋为零的粒子的最基本方程式之一,具有无可取代的实际背景和物理意义,本文运用有限差分法和有限元法对高维KG方程进行了数值研究,并建立了数值格式的最优误差估计.首先,本文提出了一个有限差分格式用于求解高维非线性KG方程,证明该格式在离散意义下保持总能量守恒,这与原问题所具有的守恒性质是一致的.在误差分析中,除标准的能量方法以外,还引入了抬升技巧和对非线性项的光滑截断技巧.已有文献中对该方程的数值算法的分析通常对网格比有一定的限制,而在本文中,在对网格比没有任何约束的前提下,我们建立了所提格式的最优误差估计,其收敛阶数为O h2+τ2),其中h和τ分别是空间和时间方向的网格步长.数值实验进一步验证了我们的理论分析.其次,文中提出了一个三层Galerkin有限元方法.借鉴了文献中常用的Li-Sun误差分离方法,通过引入时间离散系统并对误差进行分析,建立了格式的最优误差估计,收敛阶数为O(hr+1+τ2),其中h和τ分别是空间和时间方向的网格步长,且该格式对网格比没有任何约束.数值算例表明,我们的理论分析是可行的.

关键词： Klein-Gordon方程有限差分格式 Galerkin有限元方法能量守恒律最优误差估计无条件收敛

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耗散非线性Schr(o)dinger方程的紧致有限差分格式及其最优误差估计

耗散非线性Schr(o)dinger方程的紧致有限差分格式及其最优误差估计

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作者：王国栋南京信息工程大学

学位级别：硕士

本文提出了两个紧致差分格式用于求解耗散非线性Schr(o)dinger方程.通过引入一个新的辅助函数将耗散项消除，就新函数而言，原方程可转变为一个总质量以及总能量守恒的系统.分别基于原耗散方程和新的守恒系统，本文提出了两个高效的紧... 详细信息

本文提出了两个紧致差分格式用于求解耗散非线性Schr(o)dinger方程.通过引入一个新的辅助函数将耗散项消除，就新函数而言，原方程可转变为一个总质量以及总能量守恒的系统.分别基于原耗散方程和新的守恒系统，本文提出了两个高效的紧致差分格式，并且对数值解的存在性、稳定性以及收敛性进行了分析.\n 对于第一个格式，在对网格比没有任何要求的前提下，本文采用能量方法并结合cut-off技巧建立了最大模意义下的最优误差估计，实验结果证明了数值解在空间和时间方向的收敛阶分别为4阶和2阶.\n 对于第二个格式，通过运用不动点定理和标准的能量方法，本文首先证明了数值解的存在唯一性，接着采用能量方法和数学归纳法并结合H1估计，在对网格比没有任何要求的情况下建立了格式在最大模意义下的最优误差估计，数值解在空间和时间方向的收敛阶分别为4阶和2阶.\n 为验证理论分析的正确性，本文在数值实验部分通过数值算例验证了格式的守恒或耗散性质及其收敛阶，并且通过与已有算法的对比来展示新格式的优越性.

关键词：耗散非线性Schr(o)dinger方程紧致有限差分格式最优误差估计数值解存在性稳定性收敛性

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高维KGS方程及Gross-Pitaevskii方程有限差分格式及其无条件最优误差估计

高维KGS方程及Gross-Pitaevskii方程有限差分格式及其无条件最优...

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作者：蒋佳平南京信息工程大学

学位级别：硕士

本文运用有限差分法对Klein-Gordon-Schrodinger(KGS)方程和两类Gross-Pitaevskii(GP)方程进行了数值研究,并建立了数值格式的最优误差估计.首先,文中对KGS方程提出两个有限差分格式,并给出格式的最优误估计,证明两格式皆在离散意义下... 详细信息

本文运用有限差分法对Klein-Gordon-Schrodinger(KGS)方程和两类Gross-Pitaevskii(GP)方程进行了数值研究,并建立了数值格式的最优误差估计.首先,文中对KGS方程提出两个有限差分格式,并给出格式的最优误估计,证明两格式皆在离散意义下保持总质量和总能量守恒.在误差分析中,除标准的能量方法以外,文中还引入归纳论证和“抬升”技巧,严格地建立了无网格比约束的最优H2误差估计.而已有文献中的结果要么证明不够严格,要么需要一定的网格比约束.继而,本文对带角动量旋转项的GP方程提出一个守恒的有限差分格式,采用标准的能量方法并结合“抬升”技巧和“cut-off”技巧,在无网格比约束的前提下,建立了片H1-范数下的最优误差估计.最后,本文对耦合GP方程构造了一个线性化解耦的紧致有限差分格式,并定义一类新型质量泛函、磁化强度泛函和能量泛函,使用递归关系证明新格式在离散意义上保持原问题的三个守恒量.同时,在无网格比约束的前提下,建立了该差分格式在L∞-范数下的最优误差估计.文章中给出了详尽的数值实验,以验证理论分析的结果.

关键词： Klein-Gordon-Schrodinger方程 Gross-Pitaevskii方程有限差分格式守恒律最优误差估计

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线性反应扩散方程的时间变步长BDF2格式的最优误差估计

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数学杂志 2021年第6期41卷 471-488页

作者：张继伟赵成超武汉大学数学与统计学院/计算科学湖北省重点实验室湖北武汉430072 北京计算科学研究中心应用与计算数学部北京100193

虽然时间变步长的两步向后差分公式(BDF2)在模拟多尺度动力学具有重要的价值和广泛的应用,但其稳定性和收敛性分析仍不完整.在本工作中,我们重新讨论了线性反应扩散问题的BDF2格式.利用[11]中离散正交卷积(DOC)核的技巧,引入离散互补卷... 详细信息

虽然时间变步长的两步向后差分公式(BDF2)在模拟多尺度动力学具有重要的价值和广泛的应用,但其稳定性和收敛性分析仍不完整.在本工作中,我们重新讨论了线性反应扩散问题的BDF2格式.利用[11]中离散正交卷积(DOC)核的技巧,引入离散互补卷积(DCC)核的概念,我们证明了在相邻时间步长比条件0最优且鲁棒的.鲁棒性指对于任意满足0

关键词： BDF2 DOC DCC 时间变步长最优误差估计

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