给定整数n,Ramanujan τ-函数τ(n)定义为下面模形式的傅里叶系数对于大整数n,计算τ(n)是非常困难的。本论文讨论计算τ(n)的一个多项式算法。在[20]一书中,***,J.-***,*** Jong and ***推广了Schoof-算法[40],给出了一个计算丁(n)的...
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给定整数n,Ramanujan τ-函数τ(n)定义为下面模形式的傅里叶系数
对于大整数n,计算τ(n)是非常困难的。本论文讨论计算τ(n)的一个多项式算法。
在[20]一书中,***,J.-***,*** Jong and ***推广了Schoof-算法[40],给出了一个计算丁(n)的多项式时间算法。他们实际给出一个多项式时间算法计算模形式的Galois表示,从而计算τ(p)mod l。然后结合性质|τ(p)|≤2p11/2for prime p,利用中国剩余定理,我们可以计算出τ(p)。该算法适用于所有level为1的模形式f,并归结为计算一个与f的Galois表示相互决定的多项式P,,l。但是实现该算法是非常困难的。***[20,第七章]运用该算法,对所有l≤23的素数,近似计算出了level为1,权为k≤22的模形式f的投射Galois表示,即Pf,l。不过,在计算中随着l的增大,所需要的精度迅速增加,这也是Bosman只计算了上边这些情况的原因。
在本论文中,我们提出一个改进的算法,很大程度提高了对当gcd((k-2,l+1)>2情况的计算效率。在这种情况下,我们可以找到满足Γ1(l)≤Γ≤Γ0(l)的模曲线xΓ,使得2-维Galois表示是XΓ的雅克比簇上扭空间的子表示。从而我们可以取代X1(l),只需在XΓ的雅克比簇上做计算。因为xΓ的亏格比X1(l)的小,这样计算中所需的精度也更小,使得计算更有效率,从而我们可以计算Bosman原算法不能实现的情况。
利用该算法,我们对以下情况计算了pf,l：l=29,权k=16的模形式f；L=31,权K=12,20,22的模形式f。此外,利用有Khare-Wintenberger[26]证明了的Serre猜想,我们严格证明了以上所有的计算结果。
作为例子,我们在不计符号条件下计算了Ramanujan τ-函数在一些大素数的值,即在Z/31Z中,我们有τ(101000+4351)=±8, τ(101000+10401)=0, τ(101000+11979)=±11, τ(101000+17557)=±8.
最后利用前面的结果,我们可以改进关于RamanujanT-函数的Lehmer-猜想的上界,即τ(n)≠0, for all n<982149821766199295999当权k=16,20,18,20,22和26,我们推广Lehmer-猜想,并根据Swinnerton-Dyer所得到的level为1的模形式的同余式,计算出相应的上界。
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