检索结果-内蒙古大学图书馆

混沌(Chaos)是非线性科学研究中的重要内容之一,是非线性动力系统的固有特性,也是非线性系统普遍存在的现象。研究混沌运动的学科,叫作混沌学(Chaology).一般而言,混沌是指发生在确定性系统中,不需附加任何随机因素亦可出现的类似随机的动力学行为(内在随机性).混沌系统的最大特点就是系统的演变过程对初始条件非常敏感.因此从长期意义上讲,系统的未来行为是不可预测的. 混沌是随着现代科学技术的迅猛发展,尤其是在计算机技术的出现和普遍应用的基础上发展起来的新型交叉学科.混沌研究的重要特点是跨越了学科界限.混沌学的普适性,标度率,自相似性,分形,奇怪吸引子,重整化群等概念和方法,正在超越原来数理科学的狭窄背景,走进化学,生物学,地学,医学及社会科学的广阔天地.著名物理学家J. Ford认为混沌是20世纪物理学中继量子力学和相对论之后的第三次革命. 尽管科学家对混沌的研究已近半个世纪,但是至今仍没有一个统一的数学定义.这一方面是因为混沌系统非常复杂,从不同的角度理解会有不同的内涵；另一方面是因为混沌研究属于交叉学科,不同的科学领域对混沌现象的认知不同.对离散的动力系统,数学上常用的定义包括：Li-Yorke意义下混沌[43,106],De-vaney意义下混沌[24], Wiggins意义下混沌[92],分布式混沌[97]等.对微分同胚,数学上常用的混沌定义为Smale马蹄意义下混沌[34,79,96]. 混沌研究中的一个主要课题是混沌的判定.这一方面的研究已有丰硕的成果.对连续的区间映射,有Li和Yorke建立的周期3导致混沌[43],以及非2次幂周期,紊乱,正的拓扑熵等均能产生Li-Yorke意义下混沌[4].对高维映射,有著名的Morotto定理[52,53,69]以及减弱条件下的返回扩张不动点理论(snap-back repeller)(?)75],以及林伟和陈关荣建立的异宿扩张不动点理论(heteroclinic repellers)[48].对一般Banach空间和完备度量空间中的离散系统,有史玉明：陈关荣和郁培建立的耦合扩张理论和返回扩张不动点理论[68,76],以及李宗成和史玉明建立的连接扩张不动点异宿环理论[46]等.对微分同胚的混沌判定,有著名的二维空间中的Smale马蹄理论,和将其推广到高维空间中的Smale-Birkhoff定理[79],以及K. Shiraiwa和M. Kurata建立的高维流形非同胚映射的横截同宿轨导致Li-Yorke意义下混沌[77],H. Steinlein和H. Walther建立的Banach空间上的C1映射的横截同宿轨导致Devaney意义下混沌[81], J. K. Hale和***建立的Banach空间上的Ck(k≥0)映射的广义横截同宿轨导致Li-Yorke和Devaney意义下混沌[28],严寅和钱敏得到的横截异宿环导致横截同宿轨,从而横截异宿环导致混沌[95], K. Burns和H. Weiss用几何的方法得到的横截同宿轨和横截异宿环导致马蹄[8],李伟固建立的二维空间中微分同胚的鞍结不动点的横截同宿轨导致马蹄[44],B. Deng得到的高维空间中微分同胚的鞍结不动点的横截同宿轨导致马蹄[23].物理及工程中常用的混沌判定是其解的有界性和正的Lyapunov指数或正的拓扑熵. 自Li和Yorke引入混沌定义以后,对该混沌现象的研究引起了人们很大的兴趣.很多学者开始研究Li-Yorke混沌系统构成的集合的性质,比如在某个映射空间中的分布等Kloeden通过构造具有3周期点的连续区间映射证明了Li-Yorke意义下混沌的连续区间映射集合在映射空间C(I,I)中稠密[37].But-ler和Pianigiani进一步得到了具有非2次幂周期的连续区间映射(从而是Li-Yorke意义下混沌的)包含了C(I,I)中的一稠密开集[9].后来,利用[39]中关于非平凡遍历不变测度的存在性,Siegberg证明了对每个k≥2,存在一稠密集合Ak c C(,,I),使得对每个f∈Ak,满足 (ⅰ)f是Li-Yorke意义下混沌的； (ⅱ)f的拓扑熵满足h(f)≥log k; (ⅲ)存在关于f的连续的遍历不变测度. 从而,存在稠密的剩余集R∈C(I,I),使得对任意的f∈R都满足上面的性质(ⅰ)和(ⅲ),且h(f)=∞[78].由[3]中的结果,如果一个连续的区间映射f具有正的拓扑熵,那么它不仅是Li-Yorke意义下混沌的.而且也是Devanev意义下混沌的. 对于高维和无穷维混沌映射的稠密性的研究, Siegberg得到了n-维空间中的非循环的紧多面体P上的连续映射空间C(P,P)中存在一剩余集R(?)C(P

关键词：离散动力系统混沌横截同宿轨横截异宿环稠密性混沌化

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