在本文中,我们引入由Nadarajah(2005)提出的概率分布——广义正态分布(Generalized Normal Distribution,GND)。该分布是基于正态分布,通过增加一个附加形状参数β得到,其形式包含正态分布、Laplace分布等特殊分布,且在峰值处和尾部更...
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在本文中,我们引入由Nadarajah(2005)提出的概率分布——广义正态分布(Generalized Normal Distribution,GND)。该分布是基于正态分布,通过增加一个附加形状参数β得到,其形式包含正态分布、Laplace分布等特殊分布,且在峰值处和尾部更加灵活多变:当形状参数大于2时,分布的尾部比正态分布要薄;而小于2时,尾部则比正态分布要厚。由于分布形状参数的灵活性,这为不同类型的数据提供了更大的空间,使其适用性比正态分布更广,可应用于物理学、医学、工程等领域处理图像和数字信号。例如可用于合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar,SAR)图像像素分辨建模和脉冲噪声建模、超声波心电图、人脸识别系统的Gabor系数、电力系统载荷、纹理识别和检索下的小波模型、录音机编码和去噪、ARCH模型等。但是,国内对广义正态分布的研究和应用相对较少,特别是基于样本次序统计量的统计推断方面更是少见。本文主要是在已有文献的基础上,讨论次序统计量下,三参数广义正态分布的统计推断问题。首先,研究探讨了分布的构造问题,得到分布的数字特征(期望、方差、偏度、峰度)及其单调性、极限性质等。在讨论上述问题时,我们发现服从广义正态分布的随机变量可以表示成Gamma分布随机变量的函数,并利用该性质得到了计算随机变量矩的新方法,该方法在计算分布的数字特征、随机数产生等方面提供了极大的便捷性,简化了推导过程的复杂性,为该分布的构造及统计分析开辟了一条新思路。其次,本文基于次序统计量理论,研究独立同分布和独立不同分布下,服从广义正态分布的随机变量的次序统计量k阶矩表达式,同时也讨论高记录值(Upper Record Value)、低记录值(Lower Record Value)的矩的计算问题。由于广义正态分布的次序统计量的矩的推导较为复杂,且很少用到相关的理论结果。我们利用级数展开式和超几何函数,将涉及不完全Gamma函数的多重积分问题,巧妙地转化为特殊函数的有限项求和形式,获得关于次序统计量k阶矩的简洁表达式。这为后续参数估计奠定了基础,也提供了理论支撑。最后,关于分布的参数估计方面,本文在传统参数估计方法:矩估计(Methodof Moments,MoM)、极大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)的基础上,讨论另外两种适用于小样本情形下的参数估计方法:概率加权矩估计(Probability Weight-ed Moments,PWMs)和 L 矩估计(L-Moments Estimation,LME)。利用模拟方法,讨论上述四种方法的估计效果。研究结果表明,估计分布的刻度和形状参数时,L矩估计和概率加权矩估计有较好的估计效果,尤其是在小样本情形下;而矩估计更适合用于真实的形状参数较大、样本容量较小的情形下来估计未知刻度参数;可以发现,在样本容量较大时,矩估计、概率加权矩估计和L矩估计的估计差异逐渐减小。我们建议,当真实的形状参数不超过2时,推荐选用L矩估计方法估计未知的刻度和形状参数;而当真实的形状参数大于2时,则推荐选用概率加权矩估计方法估计未知的形状参数。
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