机械系统中不但存在碰撞、冲击、干摩擦等非光滑因素,而且还存在着噪声等随机因素,它们不但对系统的动力学行为有着显著的影响,还会引发结构安全问题。碰撞和摩擦在机械系统中往往会同时存在,这些系统由于向量场的不可微性和间断性表现出强非线性和奇异性的特征,这些特征使得系统的动力学行为更为复杂和丰富。本文以随机激励下含有碰撞和摩擦等非光滑因素的动力系统为研究对象,建立了相应的随机平均法研究稳态响应和可靠性函数的解析解,分析了碰撞、摩擦等非光滑因素和随机激励对系统响应和可靠性的影响。论文的主要研究内容如下:
1.研究了宽带噪声激励下具有粘弹项的Duffing Van der Pol碰撞系统的响应和分岔问题。结合广义谐和函数,将系统中的由Maxwell模型描述的粘弹项近似转化为等效的刚度项和阻尼项,通过非光滑变换系统中的离散碰撞映射转化为脉冲阻尼项,这样原碰撞系统转化为不含粘弹力和碰撞项的近似新系统。进一步利用基于广义谐和函数的随机平均法对系统进行理论分析,通过求解Fokker-Planck-Kolmogorov(FPK)方程得到系统响应的稳态概率密度函数。最后,借助原始碰撞系统的Monte Carlo数值结果,验证了解析方法的有效性,讨论了粘弹参数和随机激励对系统响应的影响。
2.研究了具有摩擦项的刚性碰撞系统在宽带噪声激励下的随机响应问题。基于广义谐和函数的随机平均法和Zhuravlev非光滑变量代换,得到了系统幅值的平均It(?)随机微分方程,进而得到系统响应的概率密度函数。分别以Duffing Van der Pol碰撞摩擦系统和Rayleigh-Van der Pol碰撞摩擦系统为例,验证了本节所述的理论方法的有效性。讨论了随机激励中的带宽,噪声强度对系统响应的影响,同时也分析了碰撞恢复系数和摩擦系数对系统响应和分岔的影响。结果表明,碰撞恢复系数和摩擦参数的变化可以诱导系统发生随机P-分岔。
3.研究了具有摩擦项的弹性碰撞在系统高斯白噪声激励下的可靠性问题。结合碰撞和摩擦的非光滑特性,将能量包线随机平均法进行改进,得到关于系统能量的平均It(?)随机微分方程,借助于扩散过程相关理论,建立了关于条件可靠性函数的Backward Kolmogrov(BK)方程,通过求解得到系统的条件可靠性函数,同时建立首次穿越时间的各阶矩所满足的Generalized Pontryagin(GP)方程,求解该方程得到平均首次穿越时间。最后分别以Duffing Van der Pol弹性碰撞摩擦系统和Rayleigh-Van der Pol弹性碰撞摩擦系统为例,通过将解析解与Monte carlo的数值解对比验证了本文提出的分析方法的有效性,分析了系统参数对系统可靠性的影响。结果表明,改变系统的摩擦参数、噪声强度以及线性弹簧的阻尼系数可以提高弹性碰撞系统的可靠性。
4.研究了加性和乘性高斯白噪声激励下刚性碰撞系统的可靠性及最优有界控制问题。首先通过改进的能量包线随机平均法得到关于系统能量的平均It(?)随机微分方程,进而通过求解相应的BK方程和GP方程得到碰撞系统的条件可靠性函数和平均首次穿越时间。对受控的碰撞系统,利用动态规划原理以及首次穿越相关的性能指标推导出最优有界控制规律。应用上述研究首次穿越的方法可得随机最优控制下系统的可靠性函数的解析解。通过分析发现减小恢复系数或减少随机激励的强度能提高系统的可靠性,此外,还发现最优有界控制力能使系统的平均首次穿越时间增加,系统的可靠性提高。
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