测绘领域诸多实际应用中系数矩阵和观测向量具有结构特征,即系数矩阵和观测向量中包含固定量(甚至固定列)和随机量,并且不同位置的随机量线性相关。针对这个问题,从变量误差(errors-in-variables,EIV)函数模型出发,首先,将系数矩阵和观测向量构成的增广矩阵表示为仿射函数形式,并采用变量投影法对函数模型进行重构;然后,利用拉格朗日法推导出了一种结构总体最小二乘(structured total least squares,STLS)估计算法。算例分析结果表明,该算法与已有能够解决系数矩阵和观测向量存在结构特征的加权或结构总体最小二乘算法估计结果一致,说明了该算法的有效性,同时阐明了该算法与已有相关算法的关系。
超定线性方程组Ax≈b,当系数矩阵A和右端项b都有误差时,总体最小二乘方法(Total Least Squares Method简写为TLS)是求解超定线性方程组Ax≈b的有效方法。该方法已应用于信号处理、系统识别、参数估计等领域。但是在这些应用问题中,系数...
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超定线性方程组Ax≈b,当系数矩阵A和右端项b都有误差时,总体最小二乘方法(Total Least Squares Method简写为TLS)是求解超定线性方程组Ax≈b的有效方法。该方法已应用于信号处理、系统识别、参数估计等领域。但是在这些应用问题中,系数矩阵A或者增广矩阵[ A, b ]具有特殊的结构,例如Toeplitz或稀疏结构,并且误差也具有特殊的结构。结构总体最小二乘方法是总体最小二乘方法的一个推广。
本文将推广结构总体最小二乘技术应用于多个右端项的线性系统AX≈B,提出求解具有多个右端项超定线性方程组的块结构总体最小二乘算法(Structure Block Total Least Squares Method简写为SBTLS)。新方法保持A或者[ A, B ]的特殊结构,同时使得误差矩阵在L p范数( p = 1,2,∞)下最小。对p = 2的情况证明了SBTLS算法的收敛性以及收敛结果的最优性,并且证明了SBTLS算法等价于Gauss-Newton迭代法。本文还改进了SBTLS法处理右端项B也具有特殊结构的情形,并将算法应用于增广矩阵[ A, B ]具有Toeplitz结构的情况,对Toeplitz结构的结果也适用于Hankel结构。本文给出了两个数值例子,以证明算法的收敛性和有效性。
众所周知,最小二乘(LS)和总体最小二乘(TLS)是科学计算中的两种重要方法.条件数刻画了一个问题的解对于输入数据小扰动的敏感程度,关于条件数的研究是矩阵扰动分析和数值分析的一个重要课题.近年来,一大批学者在LS和TLS问题的条件数方面做了大量的工作.本文继续研究LS和TLS问题的条件数,主要工作包括以下五个部分:第一部分讨论了Tikhonov正则化解的条件数.首先,我们给出了当系数矩阵、正则化矩阵和右端项向量同时扰动时,Tikhonov正则化解的相对范数型、混合型和分量型条件数,推广了[Chu et al.,*** Algebra Appl.2011,18(1):87-103]中的结果.其次,我们研究了当系数矩阵A具有线性结构时Tikhonov正则化解的结构化条件数.第二部分研究了多右端项LS问题的条件数理论.我们分别在系数矩阵是列满秩矩阵和秩亏矩阵的假设条件下,研究了多右端项LS问题的范数型、混合型和分量型条件数.所得结果推广了单右端项LS问题条件数的结果.第三部分研究了单右端项TLS问题的条件数.首先,给出了单右端项TLS问题的混合型和分量型条件数的精确表达式和上界;然后,当单右端项TLS问题的系数矩阵具有线性结构(如下三角、Toeplitz或Hankel结构)和Vandermonde、Cauchy非线性结构时,我们给出了其结构化的条件数.数值例子表明结构化的条件数确实比无结构的条件数小,甚至可以小很多.第四部分讨论了截断TLS(T-TLS)解的线性函数的条件数.我们给出了T-TLS解的线性函数LTxk的范数型、混合型和分量型条件数的精确表达式及上界,其中xk是截断水平为k的T-TLS解.本部分所得的结果推广或改进了已知文献中的结果.另外,我们还给出了LTxk的绝对范数型条件数的两个统计估计.数值例子表明条件数的上界和这两个统计估计确实是相应真实值的很好的估计.第五部分研究了多右端项TLS问题的条件数.据我们所知,目前尚无文献讨论过这个问题.首先,当多右端项TLS问题有唯一解时,我们给出了其范数型、混合型和分量型条件数的精确表达式及上界,这些结果推广了单右端项TLS问题的条件数理论.另外,我们给出了如何利用幂方法计算绝对范数型条件数.接着,我们给出了当多右端项TLS问题有无数多解时其极小Frobenius范数解的范数型、混合型和分量型条件数的上界,数值结果表明这些上界是紧的.
提出了一种使用结构总体最小二乘(Structured Total Least Squares,STLS)进行卫星质量和质心参数在轨估计的方法。其相对于现有方法有三个优点:采用完整的动力学模型,考虑敏感器测量误差,估计模型中不包含误差很大的推力值。首先推导了...
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提出了一种使用结构总体最小二乘(Structured Total Least Squares,STLS)进行卫星质量和质心参数在轨估计的方法。其相对于现有方法有三个优点:采用完整的动力学模型,考虑敏感器测量误差,估计模型中不包含误差很大的推力值。首先推导了卫星质量和质心参数的估计方程,将其化为STLS模型的形式,对该模型定义了质量质心参数的STLS估计,并使用结构总体最小范数(Structured Total Least Norm,STLN)算法进行具体求解。证明了当敏感器噪声为高斯分布时,该估计为极大似然估计。仿真结果验证了该STLS估计方法的有效性。
在自回归(autoregressive,AR)模型中,系数矩阵与观测向量中的随机误差同源。针对AR模型平差时观测权阵分配不合理、随机模型不准确的情况,采用变量投影法提取系数矩阵和观测向量构成的增广矩阵中的随机量,将变量误差(errors-in-variables,EIV)模型转化为非线性高斯-赫尔默特(Gauss-Helmert,GH)模型,利用非线性最小二乘理论得到一种结构总体最小二乘(structural total least squares,STLS)算法,并与最小二乘方差分量估计(least squares variance component estimation,LS-VCE)相结合推导出STLS问题的一种方差分量估计算法,将其应用到AR模型的方差分量估计。通过实测算例对算法有效性进行了验证,取得了与已有方法一致的结果。该算法观测权阵的构造十分简洁,同时也可用于协方差分量的估计。
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