有理样条插值是计算几何的重要组成部分，是曲线曲面设计中强有力的工具。也是近年来的研究热点。这是由于有理样条具有灵活性、一般性等特点。这样的特点使其更能适应现代设计多样性与复杂性的需求。经过诸多专家的不懈努力，近年来有理样条插值曲线的研究已经取得很多成果。但仍有一些问题值得进一步研究。有理样条插值曲面的研究很困难。但是相对于插值曲线其更具有应用价值。因此本文在前人工作的基础上进一步研究了有理插值曲线的一些问题，重点研究了双变量有理插值曲面。文章分三个部分。第一部分为第一章。其内容为绪论。第二部分包括第二章和第三章。其内容为有理插值曲线方面的研究。第三部分包括第四、五、六、七、八、九章。其内容为双变量插值曲面方面的研究。主要工作如下：
·第一章简单介绍了计算几何的发展过程及现状。从计算几何逐步过渡到本文所要研究的有理插值曲线与曲面。
·第二章主要研究了一类分母为线性的三次有理样条及样条插值导数的逼近性质。得到了误差表达式和误差系数。最后分析了插值的二阶跳跃问题。(本章主要结果发表于(《International Journal of Computer Mathematics》)
·第三章利建立了一类加权三次有理样条插值。讨论了此类插值的区域控制问题。研究了此类插值的逼近性质。得出了将插值曲线控制在给定区域的充分条件以及此类插值的误差估计式。(本章主要结果发表于《Communications in Numerical Methods in Engineering》)
·第四章简单介绍了一类双变量有理插值[38]。给出了双变量有理插值的建立过程及其基本性质。
·第五章重点研究了有理插值曲面的凸性控制问题。得出了插值曲面保凸的充要条件。(本章主要结果发表于《Computers & Graphics》)
·第六章研究了插值数据对称的双变量有理插值曲面的性质。推导出了参数和曲面形状之间明确的关系表达式。
·第七章研究了双变量有理插值的边界性质和点控制问题。证明了插值函数的有界性。给出了此类插值的逼近表达式。(本章主要结果发表于《Computers and Mathematics with Applications》)
·第八章建立了一类基于函数值和导数值的双变量有理插值。研究了此类插值的基本性质。讨论了插值的基函数并给出了关于插值积分权系数的概念。(本章主要结果发表于《Applied Mathematics and Computation》)
·第九章研究了一类双变量有理插值曲面的面控制问题。给出了将插值曲面控制于给定平面的一个充分条件。(本章主要结果发表于《Journal of Information and Computational Science》)
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