近十几年来,复杂网络中的稳定性与同步性研究已经取得了令人瞩目的成果,然而,系统环境中或强或弱存在的随机扰动可能会大幅改变复杂网络的定量行为,甚至彻底改变其定性行为。本文针对结点为随机扰动下非线性动力系统构成的复杂网络系统,分别研究其随机稳定性和同步性。 第一部分研究复杂网络的随机稳定性。经线性化及变量变换将复杂网络系统的随机稳定性问题简化为求各个独立线性子系统的最大Lyapunov指数问题,应用最大Lyapunov指数法,给出了复杂网络局部随机稳定的定量判据,并且在一定条件下得到其近似解析表达式。研究表明复杂网络系统的随机稳定性取决于网络连接矩阵最大最小特征值所对应子系统的最大Lyapunov指数,数值模拟的结果表明该方法的有效性。将该方法进一步加以推广,分析具有牵制控制的复杂网络局部随机稳定性,分别得到了正阻尼与负阻尼两种情形下系统局部随机稳定的判据。同时还详细分析了牵制控制对其稳定性与同步性的影响,发现牵制控制常常会破坏正阻尼系统的随机稳定性,而在合适的条件下,牵制控制可以稳定化原来不稳定的负阻尼系统。最后,用数值模拟方法证实理论分析结果的有效性。 第二部分通过数值模拟研究结点为非线性随机动力系统构成的复杂网络同步。首先研究了随机扰动下的van der Pol振子为结点并具有随机耦合复杂网络系统的同步,发现在合适的条件下,该复杂网络系统仍然能达到随机同步,并且在一定的初始条件及适当的随机激励强度下有可能明显地加速该复杂网络系统的同步。然后研究了相异非线性随机动力系统为结点在无标度网络系统中的随机同步问题。主要考虑了两种不同的网络系统：一是van der Pol振子和线性振子为结点构成的复杂网络系统;二是两种不同的van der Pol振子为结点构成的复杂网络系统。数值模拟研究表明在一定的随机激励强度及系统参数条件下,该网络系统可以达到同步,而当激励强度较大时则不能同步。同时还讨论了复杂网络系统同步时,耦合系统振子的振幅及频率与原非耦合的子系统的关系。
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