众所周知,线性系统在高频强迫振动下有小振幅的调和运动.尽管也有一些文献(例如,[1,2,3]研究了非线性系统的高频振动,但是小振幅调和运动的存在性(和稳定性)仍是一个不甚清楚的问题.至于大振幅的高频调和运动在文献上似乎未被提出过.本文的主要目的是对上述两个问题分别进行研究.对第一个问题作了比较完全的解答,而对第二个问题只对某些非线性系统揭示了大振幅高频调和运动的存在性.(Ⅰ)小振幅的高频调和运动,我们得到的主要结果如下:定理1 设非线性振动系统dx/dt=Ax+f(x,ωt)+b(ωt),(1)其中 x∈R~n,A 是一个非奇异的 n×n的常数矩阵,b(ωt)是一个以2π/ω为周期而平均值为零的函数向量,f(x,ωt)和 fx′(x,ωt)是连续的,关于 t 以2π/ω为周期,而且 f(0,t)≡0和 f∞′(0,t)≡0.则(1)至少有一个调和解 x=h(t;ω),只要频率ω充分大,它满足|h(t;ω)|≤M0/ω(M0>0是常数).定理2 在定理1中再设 A 的特征值的实部全是负的,则上述调和解 x=h(t;ω)还是渐近稳定的.(Ⅱ)大振幅的高频调和运动,考虑非线性振动系统d2x/dt2+f(x)dx/dt+g(x)=b(ωt),(2)其中 x∈R1和 b(ωt)是以2π/ω为周期的连续函数,而且当 n≥2(m+1),b2n+1=β2>0时f(x)=sum from i=0 to m a2i+1x2i+1,g(x)=sum from i=0 to n b2i+1x2i+1.对非线性系统(2),我们首先改进了 Birkhoff 的扭转定理,然后获得了大振幅的高频调和运动.主要结果如下:定理1′设 b(ωt)是奇函数,则(2)至少有两个调和解 x=hi(t;ω)(i=1,2),它们满足|hi(t;ω)|≥M0·ω1/n(i=1,2).(3)定理2′设 b(ωt)是偶函数而且 f(x)≡0,则(2)至少有两个调和解 x=hi(t;ω)(i=1,2),它们也满足(3).注:由(3)可见,上述调和运动的振幅当ω→∞时趋于无穷.这种非线性现象是很有趣的,虽然在文献上未曾被人们所提到.因此,对这种现象很值得作进一步的研究.
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