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Randomized sparse grid algorithms for multivariate integration on haar wavelet spaces

IMA JOURNAL OF NUMERICAL ANALYSIS 2023年第1期43卷 73-98页

作者： Wnuk, M. Gnewuch, M. Univ Osnabruck Dept Math Albrechtstr 28a D-49076 Osnabruck Germany

The deterministic sparse grid method, also known as Smolyak's method, is a well-established and widely used tool to tackle multivariate approximation problems, and there is a vast literature on it. Much less is known about randomized versions of the sparse grid method. In this paper we analyze randomized sparse grid algorithms, namely randomized sparse grid quadratures for multivariate integration on the D-dimensional unit cube [0, 1)(D). Let d, s is an element of N be such that D = d . s. The s-dimensional building blocks of the sparse grid quadratures are based on stratified sampling for s = 1 and on scrambled (0, m, s)-nets for s >= 2. The spaces of integrands and the error criterion we consider are haar wavelet spaces with parameter alpha and the randomized error (i.e., the worst case root mean square error), respectively. We prove sharp (i.e., matching) upper and lower bounds for the convergence rates of the Nth minimal errors for all possible combinations of the parameters d and s. Our upper error bounds still hold if we consider as spaces of integrands Sobolev spaces of mixed dominated smoothness with smoothness parameters 1/2 < alpha < 1 instead of haar wavelet spaces.

关键词： Smolyak algorithm multivariate integration haar function spaces quasi-Monte Carlo (0,m,s)-nets randomized algorithms

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