理论生态学的基本目标是了解生物个体之间以及与环境之间的相互作用如何决定种群的分布和群落的结构.特别地,非均匀环境在维持生物多样性方面发挥重要作用.反应扩散模型为研究非均匀环境影响种群动力学提供了一个良好的框架.本文旨在研究反应扩散模型在生物学中的应用,具体分析三类空间非均匀环境中的反应扩散模型,重点考虑非均匀环境对种群动力学、物种进化、疾病传播等的影响.第二章,我们研究一类非局部反应扩散对流系统,用来模拟富营养环境中双物种竞争的浮游植物的种群动力学,这里的富营养是指营养物是充足的,浮游植物的生长只受光照的限制.我们首先说明由于非线性项的非局部性,系统不保持逐点意义下的竞争序关系.然后引入一个特殊的锥K,它是关于种群密度的累积分布函数,并给出非局部竞争系统的上、下解的广义概念,其中的微分不等式是在锥K意义下成立的.进一步,我们对这样的上、下解建立比较原理,这意味着系统关于锥K诱导的序是单调的.作为应用,我们研究单物种模型和双物种竞争系统的全局动力学.关于单物种模型,证明了正周期解的存在唯一性和全局渐近稳定性.关于双物种模型,我们研究有关半平凡解稳定性的线性特征值问题,并对一些特殊情形,分析了扩散和对流对双物种竞争结果的影响,这蕴含着浮游植物运动策略的演化.第三章,基于前面得到的单调性结果,我们研究一般情形下非局部双物种浮游植物模型的全局动力学,主要分析扩散和对流对浮游植物竞争结果的共同影响.我们对两个半平凡解的局部稳定性进行充分的分析,并建立共存解的不存在性,从而应用单调动力系统理论,得到系统的全局动力学.结果表明,扩散和对流的结合将导致复杂的动力学行为,包括竞争排斥和共存.对流速率的变化可能导致不同竞争结果之间的转变,这意味着浮游植物种群的群落构成可能随着对流速度的改变而变化.第四章,研究n维周期等方向演化区域上扩散的logistic方程.我们首先推导出演化区域上的模型方程及特征值问题.然后证明若物种的扩散率d小于临界值D0,则物种可持续生存;若物种的扩散率d大于临界值D0,则物种灭亡.最后,我们分析了区域演化对物种持久性的影响.具体来说,这依赖于平均值ρ-2,其中ρ(t)是区域演化率且ρ-2=1/T ∫0 T 1/ρ2(t)dt.若ρ-2>1,则区域的周期演化对物种的持久性有消极影响;若ρ-2<1,则区域的周期演化对物种的持久性有积极影响;若ρ-2=1,则区域的周期演化对物种的持久性不产生影响.我们给出了数值模拟进一步验证理论分析结果.第五章,研究时空非均匀环境中的反应扩散对流sis传染病模型.我们首先引入模型的基本再生数R0,并建立关于R0的阈值动力学.其次,分析R0的一些一般的定性性质.最后,研究特殊情况下,即γ(x,t)-β(x,t)=V(x,t)关于空间变量x单调时,对流和感染者的扩散对基本再生数R0的影响.我们的结果表明,若Vx(x,t)≥ 0,(?)0且V(x,t)只关于x变号,则对流有利于消除疾病;若Vx(x,t)≤0,(?)0且V(x,t)只关于x变号,则对流不利于疾病的消除.感染者的扩散对疾病传播的影响依赖于环境是高危险区域还是低危险区域.
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