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programming in Constructive Set Theory: SomeExamples 81

Programming in Constructive Set Theory: SomeExamples

引用

1981 Conference on Functional programming Languages and Computer Architecture, FPCA 1981

作者： Nordström, Bengt Laboratory for Programming Methodology Informationsbehandling University of Göteborg Chalmers University of Technology GöteborgS-412 96 Sweden

ISBN: (纸本)0897910605

Per Martin-Löfs Constructive Set Theory is a mathematical language with computation rules. It is primarily designed to be a language for mathematical reasoning. The language has a very simple semantics and its rules have a simple structure. Since it is a language for constructive mathematics, it is possible to execute the proof (the construction of a proposition) as a program. The language can be seen as a programming language without assignments and other side effects. Compared to traditional functional languages it has a very rich type structure in that the type of an expression can completely specify the task of the expres-tion. A sorting algorithm, for instance, can be conventionally specified to have a type sort: List(A) List(A) which is type-correct if sort is any function taking a list as argument and producing a list as result. It is, however, also possible to specify that sort is a function taking a list as argument and producing a sorted permutation of its input as result, i.e. sort:(l/x £ List(A)) (vy tList(A)) (Perm(x,y) x Sorted(y)) The type (or the task) of the program can be read as the proposition (Vx 6 List(A)) (3y e List(A) (Perm(x,y) & Sorted(y)) which is read "for all lists x, there is a sorted permutation y of x". We can prove that this proposition is true, using the rules of the language to construct a program for the task. If the proposition were not true, it would be impossible to find a a program for it and we would have had an impossible task. The types of Constructive Set Theory can be seen as a specification language for the programs, but of course there is only one language, avoiding the complexity of mixing a programming language with a logical language. The similarity (or rather: identity) between a mathematical proof of a given proposition and a program for a given task suggests that programming should be similar to the mathematicians activity of finding proofs. We have illustrated this with an example of how a proof of the Euclidean

关键词： Set theory

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