密度估计是非参数统计学的重要研究方向,也是回归估计与删失估计的基础.紧支密度估计已取得了丰硕的成果,见Donoho等人的工作(***,***,***,*** estimation by wavelet ***.,1996,24(2):508-539).非紧支密度估计的研究相对较少.受Donoho,...
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密度估计是非参数统计学的重要研究方向,也是回归估计与删失估计的基础.紧支密度估计已取得了丰硕的成果,见Donoho等人的工作(***,***,***,*** estimation by wavelet ***.,1996,24(2):508-539).非紧支密度估计的研究相对较少.受Donoho,Juditsky,Goldenshluger和Lepski等人工作的启发,本文不假定密度函数具有紧支集,利用自适应小波估计器在Besov空间Br,qs(R)中研究其Lp(1 ≤ p<∞)风险估计.基于双正交小波,Reynaud-Bouret 等人(***-Bouret,***,*** density estimation:a curse of ***,2011,141(1):115-139)研究了 Besov 空间Br,qs(R)中不必紧支密度函数L2风险的最优估计,并提出一公开问题:能否给出相应Lp(1 ≤ p<∞)风险的最优估计?本文首先利用经典的小波硬阈值估计器在p ≥sr+r时正面回答了这一问题;当2≤p<2sr+r时,借助Juditsky等人(***,*** minimax density estimation on ***,2004,10(2):187-220)的双正交小波估计器给出了相应的Lp风险估计.特别地,当p=2时,我们的结果等同于Reynaud-Bouret等人的定理.其次,受 Goldenshluger&Lepski 工作(***,*** adaptive minimax density estimation on *** ***.,2014,159(3-4):479-543)的启发,我们利用数据驱动方法构造了完全自适应的小波估计器,并给出Lp(1 ≤ p<∞)风险估计的收敛阶.遗憾的是,当p=1时,收敛阶指数退化为零,即估计器缺少相合性.这是自然的,因为Goldenshluger&Lepski早已指出:单独的光滑性假设不足以给出一致的估计器,即得不到相合性鉴于此,本文最后定义了密度函数集Fθ(M)(θ∈(0,1],M>0为常数),它在某种意义上反映了密度函数f的衰减性,较小的θ指标对应函数具有较快的衰减性.进一步,针对这一类密度函数,我们利用经典的小波硬阈值估计器给出其L1风险估计的收敛阶.这一结果可以看作是Juditsky&Lambert-Lacroix相应工作的补充.
密度估计是非参数统计学的重要研究方向.紧支密度函数估计已经取得了丰硕的成果,非紧支情形的研究成果相对较少.Cao和Liu(***,*** the Reynaud-Bouret-Rivoirard-Tuleau-Malot *** Journal of Wavelets Multires-olution and Informatio...
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密度估计是非参数统计学的重要研究方向.紧支密度函数估计已经取得了丰硕的成果,非紧支情形的研究成果相对较少.Cao和Liu(***,*** the Reynaud-Bouret-Rivoirard-Tuleau-Malot *** Journal of Wavelets Multires-olution and Information Processing.2018,16(5):1850038)利用小波方法在一维 Besov 空间Br,qs(R)中研究了非紧支密度函数Lp(2 ≤ p<∞)风险的自适应上界估计.本文尝试将Cao和Liu的结果推广到高维情形.受Kerkyacharian和Picard工作(***,*** estimation in Besov *** and Probabil-ity Letters.1992,13(1):15-24)的启发,首先利用线性小波估计器研究非紧支密度函数的Lp(1 ≤ p<∞)风险估计;其次,为达到自适应性,我们给出非线性小波估计器Lp(2d+r≤p<∞)风险的上界估计;最后,针对一类特殊的密度函数讨论其L1风险估计.当维数d=1时,我们的结果便是Cao和Liu的相应定理.
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